Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7220 / 9261
↖ ↑ ↗
← N 61.370410°
W100.678711°		 ← 585.34 m → N 61.370410°
W100.667724°		 →
↑
585.37 m
↓
↑
585.37 m
↓
N 61.365145°
W100.678711°		 ← 585.44 m →
342 669 m²		 N 61.365145°
W100.667724°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7220 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9261 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.220352172851562 y=0.282638549804688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.220352172851562 × 215)
    floor (0.220352172851562 × 32768)
    floor (7220.5)     		tx = 7220
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.282638549804688 × 215)
    floor (0.282638549804688 × 32768)
    floor (9261.5)     		ty = 9261
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7220 / 9261 ti = "15/7220/9261"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7220/9261.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7220 ÷ 215
    7220 ÷ 32768     		x = 0.2203369140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9261 ÷ 215
    9261 ÷ 32768     		y = 0.282623291015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2203369140625 × 2 - 1) × π
    -0.559326171875 × 3.1415926535     		Λ = -1.75717499
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.282623291015625 × 2 - 1) × π
    0.43475341796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.36581814397464
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75717499} λ = -1.75717499}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.36581814397464))-π/2
    2×atan(3.91892798808487)-π/2
    2×1.32095601977434-π/2
    2.64191203954868-1.57079632675     		φ = 1.07111571
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75717499} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.678711°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.07111571 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.370410°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7220 KachelY 9261 -1.75717499 1.07111571 -100.678711 61.370410
    Oben rechts KachelX + 1 7221 KachelY 9261 -1.75698324 1.07111571 -100.667724 61.370410
    Unten links KachelX 7220 KachelY + 1 9262 -1.75717499 1.07102383 -100.678711 61.365145
    Unten rechts KachelX + 1 7221 KachelY + 1 9262 -1.75698324 1.07102383 -100.667724 61.365145
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.07111571-1.07102383) × R
    9.18800000000441e-05 × 6371000     		dl = 585.367480000281m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.07111571-1.07102383) × R
    9.18800000000441e-05 × 6371000     		dr = 585.367480000281m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75717499--1.75698324) × cos(1.07111571) × R
    0.000191749999999935 × 0.479145229025557 × 6371000     		do = 585.342618227661m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75717499--1.75698324) × cos(1.07102383) × R
    0.000191749999999935 × 0.479225873353369 × 6371000     		du = 585.441136503806m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.07111571)-sin(1.07102383))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.479145229025557-0.479225873353369)×R²
    abs(-1.75698324--1.75717499)×8.06443278124069e-05×R²
    0.000191749999999935×8.06443278124069e-05×6371000²
    0.000191749999999935×8.06443278124069e-05×40589641000000     		ar = 342669.36830675m²