Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7220 / 5591
↖ ↑ ↗
← N 49.510944°
W 21.357422°		 ← 1 586.39 m → N 49.510944°
W 21.335449°		 →
↑
1 586.63 m
↓
↑
1 586.63 m
↓
N 49.496675°
W 21.357422°		 ← 1 586.85 m →
2 517 381 m²		 N 49.496675°
W 21.335449°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7220 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5591 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440704345703125 y=0.341278076171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440704345703125 × 214)
    floor (0.440704345703125 × 16384)
    floor (7220.5)     		tx = 7220
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341278076171875 × 214)
    floor (0.341278076171875 × 16384)
    floor (5591.5)     		ty = 5591
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7220 / 5591 ti = "14/7220/5591"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7220/5591.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7220 ÷ 214
    7220 ÷ 16384     		x = 0.440673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5591 ÷ 214
    5591 ÷ 16384     		y = 0.34124755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440673828125 × 2 - 1) × π
    -0.11865234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.37275733
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34124755859375 × 2 - 1) × π
    0.3175048828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.997471007294128
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37275733} λ = -0.37275733}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.997471007294128))-π/2
    2×atan(2.71141599901803)-π/2
    2×1.21746265344333-π/2
    2.43492530688665-1.57079632675     		φ = 0.86412898
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37275733} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.357422°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86412898 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.510944°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7220 KachelY 5591 -0.37275733 0.86412898 -21.357422 49.510944
    Oben rechts KachelX + 1 7221 KachelY 5591 -0.37237384 0.86412898 -21.335449 49.510944
    Unten links KachelX 7220 KachelY + 1 5592 -0.37275733 0.86387994 -21.357422 49.496675
    Unten rechts KachelX + 1 7221 KachelY + 1 5592 -0.37237384 0.86387994 -21.335449 49.496675
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86412898-0.86387994) × R
    0.000249040000000034 × 6371000     		dl = 1586.63384000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86412898-0.86387994) × R
    0.000249040000000034 × 6371000     		dr = 1586.63384000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37275733--0.37237384) × cos(0.86412898) × R
    0.000383489999999986 × 0.649302798745507 × 6371000     		do = 1586.38620108336m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37275733--0.37237384) × cos(0.86387994) × R
    0.000383489999999986 × 0.649492180998693 × 6371000     		du = 1586.84890260531m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86412898)-sin(0.86387994))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.649302798745507-0.649492180998693)×R²
    abs(-0.37237384--0.37275733)×0.000189382253185988×R²
    0.000383489999999986×0.000189382253185988×6371000²
    0.000383489999999986×0.000189382253185988×40589641000000     		ar = 2517381.11190479m²