Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7220 / 10748
↖ ↑ ↗
← S 48.864715°
W 21.357422°		 ← 1 607.24 m → S 48.864715°
W 21.335449°		 →
↑
1 607.02 m
↓
↑
1 607.02 m
↓
S 48.879167°
W 21.357422°		 ← 1 606.78 m →
2 582 499 m²		 S 48.879167°
W 21.335449°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7220 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10748 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440704345703125 y=0.656036376953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440704345703125 × 214)
    floor (0.440704345703125 × 16384)
    floor (7220.5)     		tx = 7220
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656036376953125 × 214)
    floor (0.656036376953125 × 16384)
    floor (10748.5)     		ty = 10748
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7220 / 10748 ti = "14/7220/10748"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7220/10748.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7220 ÷ 214
    7220 ÷ 16384     		x = 0.440673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10748 ÷ 214
    10748 ÷ 16384     		y = 0.656005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440673828125 × 2 - 1) × π
    -0.11865234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.37275733
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.656005859375 × 2 - 1) × π
    -0.31201171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.980213723430908
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37275733} λ = -0.37275733}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.980213723430908))-π/2
    2×atan(0.375230894646759)-π/2
    2×0.358973083085996-π/2
    0.717946166171992-1.57079632675     		φ = -0.85285016
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37275733} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.357422°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85285016 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.864715°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7220 KachelY 10748 -0.37275733 -0.85285016 -21.357422 -48.864715
    Oben rechts KachelX + 1 7221 KachelY 10748 -0.37237384 -0.85285016 -21.335449 -48.864715
    Unten links KachelX 7220 KachelY + 1 10749 -0.37275733 -0.85310240 -21.357422 -48.879167
    Unten rechts KachelX + 1 7221 KachelY + 1 10749 -0.37237384 -0.85310240 -21.335449 -48.879167
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85285016--0.85310240) × R
    0.000252240000000015 × 6371000     		dl = 1607.02104000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85285016--0.85310240) × R
    0.000252240000000015 × 6371000     		dr = 1607.02104000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37275733--0.37237384) × cos(-0.85285016) × R
    0.000383489999999986 × 0.657839198768838 × 6371000     		do = 1607.24245987372m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37275733--0.37237384) × cos(-0.85310240) × R
    0.000383489999999986 × 0.657649201166332 × 6371000     		du = 1606.77825492121m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85285016)-sin(-0.85310240))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.657839198768838-0.657649201166332)×R²
    abs(-0.37237384--0.37275733)×0.000189997602505709×R²
    0.000383489999999986×0.000189997602505709×6371000²
    0.000383489999999986×0.000189997602505709×40589641000000     		ar = 2582499.46952713m²