Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 72197 / 94727
↖ ↑ ↗
← S 62.276868°
E 18.294983°		 ← 142.08 m → S 62.276868°
E 18.297730°		 →
↑
142.07 m
↓
↑
142.07 m
↓
S 62.278145°
E 18.294983°		 ← 142.08 m →
20 186 m²		 S 62.278145°
E 18.297730°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72197 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94727 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550823211669922 y=0.722713470458984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550823211669922 × 217)
    floor (0.550823211669922 × 131072)
    floor (72197.5)     		tx = 72197
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.722713470458984 × 217)
    floor (0.722713470458984 × 131072)
    floor (94727.5)     		ty = 94727
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72197 / 94727 ti = "17/72197/94727"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72197/94727.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72197 ÷ 217
    72197 ÷ 131072     		x = 0.550819396972656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94727 ÷ 217
    94727 ÷ 131072     		y = 0.722709655761719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.550819396972656 × 2 - 1) × π
    0.101638793945312 × 3.1415926535     		Λ = 0.31930769
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.722709655761719 × 2 - 1) × π
    -0.445419311523438 × 3.1415926535     		Φ = -1.39932603680906
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31930769} λ = 0.31930769}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39932603680906))-π/2
    2×atan(0.246763217236308)-π/2
    2×0.24192996691286-π/2
    0.483859933825719-1.57079632675     		φ = -1.08693639
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31930769} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.294983°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08693639 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.276868°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72197 KachelY 94727 0.31930769 -1.08693639 18.294983 -62.276868
    Oben rechts KachelX + 1 72198 KachelY 94727 0.31935563 -1.08693639 18.297730 -62.276868
    Unten links KachelX 72197 KachelY + 1 94728 0.31930769 -1.08695869 18.294983 -62.278145
    Unten rechts KachelX + 1 72198 KachelY + 1 94728 0.31935563 -1.08695869 18.297730 -62.278145
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08693639--1.08695869) × R
    2.22999999999196e-05 × 6371000     		dl = 142.073299999488m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08693639--1.08695869) × R
    2.22999999999196e-05 × 6371000     		dr = 142.073299999488m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31930769-0.31935563) × cos(-1.08693639) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.465199471333449 × 6371000     		do = 142.083892779699m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31930769-0.31935563) × cos(-1.08695869) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.465179731126633 × 6371000     		du = 142.077863612424m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08693639)-sin(-1.08695869))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.465199471333449-0.465179731126633)×R²
    abs(0.31935563-0.31930769)×1.9740206815555e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.9740206815555e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.9740206815555e-05×40589641000000     		ar = 20185.8992330489m²