Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72197 / 75277
↖ ↑ ↗
← S 25.832033°
E 18.294983°		 ← 274.91 m → S 25.832033°
E 18.297730°		 →
↑
274.91 m
↓
↑
274.91 m
↓
S 25.834505°
E 18.294983°		 ← 274.90 m →
75 573 m²		 S 25.834505°
E 18.297730°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72197 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75277 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550823211669922 y=0.574321746826172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550823211669922 × 217)
    floor (0.550823211669922 × 131072)
    floor (72197.5)     		tx = 72197
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.574321746826172 × 217)
    floor (0.574321746826172 × 131072)
    floor (75277.5)     		ty = 75277
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72197 / 75277 ti = "17/72197/75277"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72197/75277.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72197 ÷ 217
    72197 ÷ 131072     		x = 0.550819396972656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75277 ÷ 217
    75277 ÷ 131072     		y = 0.574317932128906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.550819396972656 × 2 - 1) × π
    0.101638793945312 × 3.1415926535     		Λ = 0.31930769
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.574317932128906 × 2 - 1) × π
    -0.148635864257812 × 3.1415926535     		Φ = -0.466953339198967
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31930769} λ = 0.31930769}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.466953339198967))-π/2
    2×atan(0.626909341821989)-π/2
    2×0.559971147120195-π/2
    1.11994229424039-1.57079632675     		φ = -0.45085403
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31930769} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.294983°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.45085403 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.832033°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72197 KachelY 75277 0.31930769 -0.45085403 18.294983 -25.832033
    Oben rechts KachelX + 1 72198 KachelY 75277 0.31935563 -0.45085403 18.297730 -25.832033
    Unten links KachelX 72197 KachelY + 1 75278 0.31930769 -0.45089718 18.294983 -25.834505
    Unten rechts KachelX + 1 72198 KachelY + 1 75278 0.31935563 -0.45089718 18.297730 -25.834505
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.45085403--0.45089718) × R
    4.31499999999918e-05 × 6371000     		dl = 274.908649999948m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.45085403--0.45089718) × R
    4.31499999999918e-05 × 6371000     		dr = 274.908649999948m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31930769-0.31935563) × cos(-0.45085403) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.900075300404447 × 6371000     		do = 274.906164681889m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31930769-0.31935563) × cos(-0.45089718) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.900056497627838 × 6371000     		du = 274.900421829929m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.45085403)-sin(-0.45089718))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.900075300404447-0.900056497627838)×R²
    abs(0.31935563-0.31930769)×1.88027766089283e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.88027766089283e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.88027766089283e-05×40589641000000     		ar = 75573.2932412726m²