Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72195 / 103939
↖ ↑ ↗
← S 71.967938°
E 18.289489°		 ← 94.54 m → S 71.967938°
E 18.292236°		 →
↑
94.55 m
↓
↑
94.55 m
↓
S 71.968789°
E 18.289489°		 ← 94.54 m →
8 939 m²		 S 71.968789°
E 18.292236°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72195 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103939 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550807952880859 y=0.792995452880859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550807952880859 × 217)
    floor (0.550807952880859 × 131072)
    floor (72195.5)     		tx = 72195
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.792995452880859 × 217)
    floor (0.792995452880859 × 131072)
    floor (103939.5)     		ty = 103939
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72195 / 103939 ti = "17/72195/103939"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72195/103939.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72195 ÷ 217
    72195 ÷ 131072     		x = 0.550804138183594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103939 ÷ 217
    103939 ÷ 131072     		y = 0.792991638183594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.550804138183594 × 2 - 1) × π
    0.101608276367188 × 3.1415926535     		Λ = 0.31921181
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.792991638183594 × 2 - 1) × π
    -0.585983276367188 × 3.1415926535     		Φ = -1.84092075610902
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31921181} λ = 0.31921181}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.84092075610902))-π/2
    2×atan(0.158671261293014)-π/2
    2×0.157359422232736-π/2
    0.314718844465472-1.57079632675     		φ = -1.25607748
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31921181} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.289489°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.25607748 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.967938°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72195 KachelY 103939 0.31921181 -1.25607748 18.289489 -71.967938
    Oben rechts KachelX + 1 72196 KachelY 103939 0.31925975 -1.25607748 18.292236 -71.967938
    Unten links KachelX 72195 KachelY + 1 103940 0.31921181 -1.25609232 18.289489 -71.968789
    Unten rechts KachelX + 1 72196 KachelY + 1 103940 0.31925975 -1.25609232 18.292236 -71.968789
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.25607748--1.25609232) × R
    1.48399999999604e-05 × 6371000     		dl = 94.545639999748m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.25607748--1.25609232) × R
    1.48399999999604e-05 × 6371000     		dr = 94.545639999748m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31921181-0.31925975) × cos(-1.25607748) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.309549139536742 × 6371000     		do = 94.5442750094201m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31921181-0.31925975) × cos(-1.25609232) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.3095350283923 × 6371000     		du = 94.5399651026867m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.25607748)-sin(-1.25609232))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.309549139536742-0.3095350283923)×R²
    abs(0.31925975-0.31921181)×1.41111444416642e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.41111444416642e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.41111444416642e-05×40589641000000     		ar = 8938.54524777226m²