Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72194 / 78342
↖ ↑ ↗
← S 33.151349°
E 18.286743°		 ← 255.66 m → S 33.151349°
E 18.289489°		 →
↑
255.67 m
↓
↑
255.67 m
↓
S 33.153649°
E 18.286743°		 ← 255.65 m →
65 363 m²		 S 33.153649°
E 18.289489°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72194 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78342 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550800323486328 y=0.597705841064453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550800323486328 × 217)
    floor (0.550800323486328 × 131072)
    floor (72194.5)     		tx = 72194
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.597705841064453 × 217)
    floor (0.597705841064453 × 131072)
    floor (78342.5)     		ty = 78342
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72194 / 78342 ti = "17/72194/78342"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72194/78342.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72194 ÷ 217
    72194 ÷ 131072     		x = 0.550796508789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78342 ÷ 217
    78342 ÷ 131072     		y = 0.597702026367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.550796508789062 × 2 - 1) × π
    0.101593017578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.31916388
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.597702026367188 × 2 - 1) × π
    -0.195404052734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.613879936534439
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31916388} λ = 0.31916388}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.613879936534439))-π/2
    2×atan(0.541246786679191)-π/2
    2×0.496098064278181-π/2
    0.992196128556361-1.57079632675     		φ = -0.57860020
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31916388} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.286743°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57860020 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.151349°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72194 KachelY 78342 0.31916388 -0.57860020 18.286743 -33.151349
    Oben rechts KachelX + 1 72195 KachelY 78342 0.31921181 -0.57860020 18.289489 -33.151349
    Unten links KachelX 72194 KachelY + 1 78343 0.31916388 -0.57864033 18.286743 -33.153649
    Unten rechts KachelX + 1 72195 KachelY + 1 78343 0.31921181 -0.57864033 18.289489 -33.153649
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57860020--0.57864033) × R
    4.01300000000271e-05 × 6371000     		dl = 255.668230000173m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57860020--0.57864033) × R
    4.01300000000271e-05 × 6371000     		dr = 255.668230000173m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31916388-0.31921181) × cos(-0.57860020) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.837228954072316 × 6371000     		do = 255.657932990159m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31916388-0.31921181) × cos(-0.57864033) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.837207008206556 × 6371000     		du = 255.651231556041m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57860020)-sin(-0.57864033))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.837228954072316-0.837207008206556)×R²
    abs(0.31921181-0.31916388)×2.19458657594318e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.19458657594318e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.19458657594318e-05×40589641000000     		ar = 65362.7545500417m²