Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72193 / 77313
↖ ↑ ↗
← S 30.753638°
E 18.283997°		 ← 262.47 m → S 30.753638°
E 18.286743°		 →
↑
262.49 m
↓
↑
262.49 m
↓
S 30.755999°
E 18.283997°		 ← 262.47 m →
68 895 m²		 S 30.755999°
E 18.286743°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72193 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77313 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550792694091797 y=0.589855194091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550792694091797 × 217)
    floor (0.550792694091797 × 131072)
    floor (72193.5)     		tx = 72193
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.589855194091797 × 217)
    floor (0.589855194091797 × 131072)
    floor (77313.5)     		ty = 77313
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72193 / 77313 ti = "17/72193/77313"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72193/77313.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72193 ÷ 217
    72193 ÷ 131072     		x = 0.550788879394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77313 ÷ 217
    77313 ÷ 131072     		y = 0.589851379394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.550788879394531 × 2 - 1) × π
    0.101577758789062 × 3.1415926535     		Λ = 0.31911594
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.589851379394531 × 2 - 1) × π
    -0.179702758789062 × 3.1415926535     		Φ = -0.564552866825401
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31911594} λ = 0.31911594}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.564552866825401))-π/2
    2×atan(0.56861433625832)-π/2
    2×0.517022042095162-π/2
    1.03404408419032-1.57079632675     		φ = -0.53675224
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31911594} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.283997°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53675224 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.753638°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72193 KachelY 77313 0.31911594 -0.53675224 18.283997 -30.753638
    Oben rechts KachelX + 1 72194 KachelY 77313 0.31916388 -0.53675224 18.286743 -30.753638
    Unten links KachelX 72193 KachelY + 1 77314 0.31911594 -0.53679344 18.283997 -30.755999
    Unten rechts KachelX + 1 72194 KachelY + 1 77314 0.31916388 -0.53679344 18.286743 -30.755999
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53675224--0.53679344) × R
    4.11999999999635e-05 × 6371000     		dl = 262.485199999767m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53675224--0.53679344) × R
    4.11999999999635e-05 × 6371000     		dr = 262.485199999767m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31911594-0.31916388) × cos(-0.53675224) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.859373945208571 × 6371000     		do = 262.474923152179m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31911594-0.31916388) × cos(-0.53679344) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.859352876955903 × 6371000     		du = 262.468488365517m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53675224)-sin(-0.53679344))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.859373945208571-0.859352876955903)×R²
    abs(0.31916388-0.31911594)×2.10682526682326e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.10682526682326e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.10682526682326e-05×40589641000000     		ar = 68894.9381901554m²