Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72193 / 75301
↖ ↑ ↗
← S 25.891350°
E 18.283997°		 ← 274.77 m → S 25.891350°
E 18.286743°		 →
↑
274.72 m
↓
↑
274.72 m
↓
S 25.893820°
E 18.283997°		 ← 274.76 m →
75 483 m²		 S 25.893820°
E 18.286743°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72193 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75301 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550792694091797 y=0.574504852294922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550792694091797 × 217)
    floor (0.550792694091797 × 131072)
    floor (72193.5)     		tx = 72193
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.574504852294922 × 217)
    floor (0.574504852294922 × 131072)
    floor (75301.5)     		ty = 75301
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72193 / 75301 ti = "17/72193/75301"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72193/75301.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72193 ÷ 217
    72193 ÷ 131072     		x = 0.550788879394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75301 ÷ 217
    75301 ÷ 131072     		y = 0.574501037597656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.550788879394531 × 2 - 1) × π
    0.101577758789062 × 3.1415926535     		Λ = 0.31911594
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.574501037597656 × 2 - 1) × π
    -0.149002075195312 × 3.1415926535     		Φ = -0.468103824789848
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31911594} λ = 0.31911594}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.468103824789848))-π/2
    2×atan(0.626188506392331)-π/2
    2×0.559453515138306-π/2
    1.11890703027661-1.57079632675     		φ = -0.45188930
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31911594} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.283997°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.45188930 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.891350°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72193 KachelY 75301 0.31911594 -0.45188930 18.283997 -25.891350
    Oben rechts KachelX + 1 72194 KachelY 75301 0.31916388 -0.45188930 18.286743 -25.891350
    Unten links KachelX 72193 KachelY + 1 75302 0.31911594 -0.45193242 18.283997 -25.893820
    Unten rechts KachelX + 1 72194 KachelY + 1 75302 0.31916388 -0.45193242 18.286743 -25.893820
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.45188930--0.45193242) × R
    4.31200000000076e-05 × 6371000     		dl = 274.717520000048m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.45188930--0.45193242) × R
    4.31200000000076e-05 × 6371000     		dr = 274.717520000048m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31911594-0.31916388) × cos(-0.45188930) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.899623715405967 × 6371000     		do = 274.768238999555m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31911594-0.31916388) × cos(-0.45193242) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.89960488553293 × 6371000     		du = 274.762487871648m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.45188930)-sin(-0.45193242))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.899623715405967-0.89960488553293)×R²
    abs(0.31916388-0.31911594)×1.88298730365855e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.88298730365855e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.88298730365855e-05×40589641000000     		ar = 75482.8592366476m²