Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72192 / 78337
↖ ↑ ↗
← S 33.139851°
E 18.281250°		 ← 255.74 m → S 33.139851°
E 18.283997°		 →
↑
255.73 m
↓
↑
255.73 m
↓
S 33.142151°
E 18.281250°		 ← 255.74 m →
65 401 m²		 S 33.142151°
E 18.283997°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72192 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78337 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550785064697266 y=0.597667694091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550785064697266 × 217)
    floor (0.550785064697266 × 131072)
    floor (72192.5)     		tx = 72192
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.597667694091797 × 217)
    floor (0.597667694091797 × 131072)
    floor (78337.5)     		ty = 78337
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72192 / 78337 ti = "17/72192/78337"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72192/78337.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72192 ÷ 217
    72192 ÷ 131072     		x = 0.55078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78337 ÷ 217
    78337 ÷ 131072     		y = 0.597663879394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55078125 × 2 - 1) × π
    0.1015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.31906800
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.597663879394531 × 2 - 1) × π
    -0.195327758789062 × 3.1415926535     		Φ = -0.613640252036339
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31906800} λ = 0.31906800}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.613640252036339))-π/2
    2×atan(0.541376530691798)-π/2
    2×0.49619840625432-π/2
    0.992396812508641-1.57079632675     		φ = -0.57839951
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31906800} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.281250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57839951 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.139851°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72192 KachelY 78337 0.31906800 -0.57839951 18.281250 -33.139851
    Oben rechts KachelX + 1 72193 KachelY 78337 0.31911594 -0.57839951 18.283997 -33.139851
    Unten links KachelX 72192 KachelY + 1 78338 0.31906800 -0.57843965 18.281250 -33.142151
    Unten rechts KachelX + 1 72193 KachelY + 1 78338 0.31911594 -0.57843965 18.283997 -33.142151
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57839951--0.57843965) × R
    4.01399999999663e-05 × 6371000     		dl = 255.731939999785m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57839951--0.57843965) × R
    4.01399999999663e-05 × 6371000     		dr = 255.731939999785m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31906800-0.31911594) × cos(-0.57839951) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.837338685043471 × 6371000     		do = 255.744787509861m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31906800-0.31911594) × cos(-0.57843965) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.837316740453667 × 6371000     		du = 255.738085067281m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57839951)-sin(-0.57843965))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.837338685043471-0.837316740453667)×R²
    abs(0.31911594-0.31906800)×2.19445898045345e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.19445898045345e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.19445898045345e-05×40589641000000     		ar = 65401.2536493743m²