Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72191 / 78335
↖ ↑ ↗
← S 33.135251°
E 18.278504°		 ← 255.70 m → S 33.135251°
E 18.281250°		 →
↑
255.73 m
↓
↑
255.73 m
↓
S 33.137551°
E 18.278504°		 ← 255.70 m →
65 391 m²		 S 33.137551°
E 18.281250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72191 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78335 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550777435302734 y=0.597652435302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550777435302734 × 217)
    floor (0.550777435302734 × 131072)
    floor (72191.5)     		tx = 72191
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.597652435302734 × 217)
    floor (0.597652435302734 × 131072)
    floor (78335.5)     		ty = 78335
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72191 / 78335 ti = "17/72191/78335"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72191/78335.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72191 ÷ 217
    72191 ÷ 131072     		x = 0.550773620605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78335 ÷ 217
    78335 ÷ 131072     		y = 0.597648620605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.550773620605469 × 2 - 1) × π
    0.101547241210938 × 3.1415926535     		Λ = 0.31902007
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.597648620605469 × 2 - 1) × π
    -0.195297241210938 × 3.1415926535     		Φ = -0.613544378237099
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31902007} λ = 0.31902007}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.613544378237099))-π/2
    2×atan(0.541428437004803)-π/2
    2×0.496238546726584-π/2
    0.992477093453168-1.57079632675     		φ = -0.57831923
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31902007} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.278504°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57831923 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.135251°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72191 KachelY 78335 0.31902007 -0.57831923 18.278504 -33.135251
    Oben rechts KachelX + 1 72192 KachelY 78335 0.31906800 -0.57831923 18.281250 -33.135251
    Unten links KachelX 72191 KachelY + 1 78336 0.31902007 -0.57835937 18.278504 -33.137551
    Unten rechts KachelX + 1 72192 KachelY + 1 78336 0.31906800 -0.57835937 18.281250 -33.137551
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57831923--0.57835937) × R
    4.01400000000773e-05 × 6371000     		dl = 255.731940000493m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57831923--0.57835937) × R
    4.01400000000773e-05 × 6371000     		dr = 255.731940000493m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31902007-0.31906800) × cos(-0.57831923) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.837382570175635 × 6371000     		do = 255.704841515606m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31902007-0.31906800) × cos(-0.57835937) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.837360628284139 × 6371000     		du = 255.698141295077m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57831923)-sin(-0.57835937))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.837382570175635-0.837360628284139)×R²
    abs(0.31906800-0.31902007)×2.194189149618e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.194189149618e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.194189149618e-05×40589641000000     		ar = 65391.0384667889m²