Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72190 / 75300
↖ ↑ ↗
← S 25.888879°
E 18.275757°		 ← 274.77 m → S 25.888879°
E 18.278504°		 →
↑
274.78 m
↓
↑
274.78 m
↓
S 25.891350°
E 18.275757°		 ← 274.77 m →
75 502 m²		 S 25.891350°
E 18.278504°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72190 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75300 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550769805908203 y=0.574497222900391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550769805908203 × 217)
    floor (0.550769805908203 × 131072)
    floor (72190.5)     		tx = 72190
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.574497222900391 × 217)
    floor (0.574497222900391 × 131072)
    floor (75300.5)     		ty = 75300
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72190 / 75300 ti = "17/72190/75300"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72190/75300.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72190 ÷ 217
    72190 ÷ 131072     		x = 0.550765991210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75300 ÷ 217
    75300 ÷ 131072     		y = 0.574493408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.550765991210938 × 2 - 1) × π
    0.101531982421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.31897213
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.574493408203125 × 2 - 1) × π
    -0.14898681640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.468055887890228
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31897213} λ = 0.31897213}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.468055887890228))-π/2
    2×atan(0.62621852464739)-π/2
    2×0.559475077949887-π/2
    1.11895015589977-1.57079632675     		φ = -0.45184617
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31897213} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.275757°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.45184617 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.888879°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72190 KachelY 75300 0.31897213 -0.45184617 18.275757 -25.888879
    Oben rechts KachelX + 1 72191 KachelY 75300 0.31902007 -0.45184617 18.278504 -25.888879
    Unten links KachelX 72190 KachelY + 1 75301 0.31897213 -0.45188930 18.275757 -25.891350
    Unten rechts KachelX + 1 72191 KachelY + 1 75301 0.31902007 -0.45188930 18.278504 -25.891350
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.45184617--0.45188930) × R
    4.31300000000023e-05 × 6371000     		dl = 274.781230000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.45184617--0.45188930) × R
    4.31300000000023e-05 × 6371000     		dr = 274.781230000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31897213-0.31902007) × cos(-0.45184617) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.899642547972574 × 6371000     		do = 274.773990949829m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31897213-0.31902007) × cos(-0.45188930) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.899623715405967 × 6371000     		du = 274.768238999237m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.45184617)-sin(-0.45188930))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.899642547972574-0.899623715405967)×R²
    abs(0.31902007-0.31897213)×1.88325666069522e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.88325666069522e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.88325666069522e-05×40589641000000     		ar = 75501.9449529302m²