Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7219 / 10603
↖ ↑ ↗
← S 46.724800°
W 21.379395°		 ← 1 674.88 m → S 46.724800°
W 21.357422°		 →
↑
1 674.62 m
↓
↑
1 674.62 m
↓
S 46.739861°
W 21.379395°		 ← 1 674.41 m →
2 804 384 m²		 S 46.739861°
W 21.357422°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7219 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10603 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440643310546875 y=0.647186279296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440643310546875 × 214)
    floor (0.440643310546875 × 16384)
    floor (7219.5)     		tx = 7219
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.647186279296875 × 214)
    floor (0.647186279296875 × 16384)
    floor (10603.5)     		ty = 10603
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7219 / 10603 ti = "14/7219/10603"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7219/10603.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7219 ÷ 214
    7219 ÷ 16384     		x = 0.44061279296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10603 ÷ 214
    10603 ÷ 16384     		y = 0.64715576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44061279296875 × 2 - 1) × π
    -0.1187744140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.37314083
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64715576171875 × 2 - 1) × π
    -0.2943115234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.924606919871643
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37314083} λ = -0.37314083}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.924606919871643))-π/2
    2×atan(0.396687318334544)-π/2
    2×0.377647358968995-π/2
    0.75529471793799-1.57079632675     		φ = -0.81550161
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37314083} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.379395°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81550161 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.724800°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7219 KachelY 10603 -0.37314083 -0.81550161 -21.379395 -46.724800
    Oben rechts KachelX + 1 7220 KachelY 10603 -0.37275733 -0.81550161 -21.357422 -46.724800
    Unten links KachelX 7219 KachelY + 1 10604 -0.37314083 -0.81576446 -21.379395 -46.739861
    Unten rechts KachelX + 1 7220 KachelY + 1 10604 -0.37275733 -0.81576446 -21.357422 -46.739861
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81550161--0.81576446) × R
    0.000262850000000037 × 6371000     		dl = 1674.61735000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81550161--0.81576446) × R
    0.000262850000000037 × 6371000     		dr = 1674.61735000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37314083--0.37275733) × cos(-0.81550161) × R
    0.000383499999999981 × 0.685503272747971 × 6371000     		do = 1674.87540798467m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37314083--0.37275733) × cos(-0.81576446) × R
    0.000383499999999981 × 0.685311875989394 × 6371000     		du = 1674.40777239947m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81550161)-sin(-0.81576446))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.685503272747971-0.685311875989394)×R²
    abs(-0.37275733--0.37314083)×0.0001913967585776×R²
    0.000383499999999981×0.0001913967585776×6371000²
    0.000383499999999981×0.0001913967585776×40589641000000     		ar = 2804383.87811279m²