Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72189 / 94723
↖ ↑ ↗
← S 62.271756°
E 18.273010°		 ← 142.11 m → S 62.271756°
E 18.275757°		 →
↑
142.14 m
↓
↑
142.14 m
↓
S 62.273035°
E 18.273010°		 ← 142.10 m →
20 198 m²		 S 62.273035°
E 18.275757°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72189 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94723 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550762176513672 y=0.722682952880859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550762176513672 × 217)
    floor (0.550762176513672 × 131072)
    floor (72189.5)     		tx = 72189
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.722682952880859 × 217)
    floor (0.722682952880859 × 131072)
    floor (94723.5)     		ty = 94723
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72189 / 94723 ti = "17/72189/94723"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72189/94723.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72189 ÷ 217
    72189 ÷ 131072     		x = 0.550758361816406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94723 ÷ 217
    94723 ÷ 131072     		y = 0.722679138183594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.550758361816406 × 2 - 1) × π
    0.101516723632812 × 3.1415926535     		Λ = 0.31892419
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.722679138183594 × 2 - 1) × π
    -0.445358276367188 × 3.1415926535     		Φ = -1.39913428921058
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31892419} λ = 0.31892419}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39913428921058))-π/2
    2×atan(0.246810538027286)-π/2
    2×0.241974571138636-π/2
    0.483949142277273-1.57079632675     		φ = -1.08684718
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31892419} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.273010°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08684718 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.271756°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72189 KachelY 94723 0.31892419 -1.08684718 18.273010 -62.271756
    Oben rechts KachelX + 1 72190 KachelY 94723 0.31897213 -1.08684718 18.275757 -62.271756
    Unten links KachelX 72189 KachelY + 1 94724 0.31892419 -1.08686949 18.273010 -62.273035
    Unten rechts KachelX + 1 72190 KachelY + 1 94724 0.31897213 -1.08686949 18.275757 -62.273035
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08684718--1.08686949) × R
    2.23100000000809e-05 × 6371000     		dl = 142.137010000515m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08684718--1.08686949) × R
    2.23100000000809e-05 × 6371000     		dr = 142.137010000515m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31892419-0.31897213) × cos(-1.08684718) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.465278438698867 × 6371000     		do = 142.108011445717m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31892419-0.31897213) × cos(-1.08686949) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.465258690565822 × 6371000     		du = 142.101979857569m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08684718)-sin(-1.08686949))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.465278438698867-0.465258690565822)×R²
    abs(0.31897213-0.31892419)×1.97481330443949e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.97481330443949e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.97481330443949e-05×40589641000000     		ar = 20198.3791889147m²