Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72188 / 75298
↖ ↑ ↗
← S 25.883937°
E 18.270264°		 ← 274.73 m → S 25.883937°
E 18.273010°		 →
↑
274.72 m
↓
↑
274.72 m
↓
S 25.886407°
E 18.270264°		 ← 274.72 m →
75 472 m²		 S 25.886407°
E 18.273010°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72188 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75298 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550754547119141 y=0.574481964111328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550754547119141 × 217)
    floor (0.550754547119141 × 131072)
    floor (72188.5)     		tx = 72188
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.574481964111328 × 217)
    floor (0.574481964111328 × 131072)
    floor (75298.5)     		ty = 75298
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72188 / 75298 ti = "17/72188/75298"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72188/75298.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72188 ÷ 217
    72188 ÷ 131072     		x = 0.550750732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75298 ÷ 217
    75298 ÷ 131072     		y = 0.574478149414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.550750732421875 × 2 - 1) × π
    0.10150146484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.31887626
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.574478149414062 × 2 - 1) × π
    -0.148956298828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.467960014090988
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31887626} λ = 0.31887626}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.467960014090988))-π/2
    2×atan(0.626278565474628)-π/2
    2×0.559518204926996-π/2
    1.11903640985399-1.57079632675     		φ = -0.45175992
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31887626} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.270264°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.45175992 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.883937°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72188 KachelY 75298 0.31887626 -0.45175992 18.270264 -25.883937
    Oben rechts KachelX + 1 72189 KachelY 75298 0.31892419 -0.45175992 18.273010 -25.883937
    Unten links KachelX 72188 KachelY + 1 75299 0.31887626 -0.45180304 18.270264 -25.886407
    Unten rechts KachelX + 1 72189 KachelY + 1 75299 0.31892419 -0.45180304 18.273010 -25.886407
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.45175992--0.45180304) × R
    4.31200000000076e-05 × 6371000     		dl = 274.717520000048m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.45175992--0.45180304) × R
    4.31200000000076e-05 × 6371000     		dr = 274.717520000048m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31887626-0.31892419) × cos(-0.45175992) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.89968020371972 × 6371000     		do = 274.728173358517m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31887626-0.31892419) × cos(-0.45180304) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.899661378865669 × 6371000     		du = 274.72242496287m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.45175992)-sin(-0.45180304))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.89968020371972-0.899661378865669)×R²
    abs(0.31892419-0.31887626)×1.88248540516911e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.88248540516911e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.88248540516911e-05×40589641000000     		ar = 75471.8528784586m²