Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72188 / 75252
↖ ↑ ↗
← S 25.770214°
E 18.270264°		 ← 274.99 m → S 25.770214°
E 18.273010°		 →
↑
275.04 m
↓
↑
275.04 m
↓
S 25.772687°
E 18.270264°		 ← 274.99 m →
75 632 m²		 S 25.772687°
E 18.273010°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72188 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75252 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550754547119141 y=0.574131011962891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550754547119141 × 217)
    floor (0.550754547119141 × 131072)
    floor (72188.5)     		tx = 72188
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.574131011962891 × 217)
    floor (0.574131011962891 × 131072)
    floor (75252.5)     		ty = 75252
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72188 / 75252 ti = "17/72188/75252"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72188/75252.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72188 ÷ 217
    72188 ÷ 131072     		x = 0.550750732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75252 ÷ 217
    75252 ÷ 131072     		y = 0.574127197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.550750732421875 × 2 - 1) × π
    0.10150146484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.31887626
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.574127197265625 × 2 - 1) × π
    -0.14825439453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.465754916708466
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31887626} λ = 0.31887626}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.465754916708466))-π/2
    2×atan(0.627661094445386)-π/2
    2×0.560510623099744-π/2
    1.12102124619949-1.57079632675     		φ = -0.44977508
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31887626} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.270264°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.44977508 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.770214°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72188 KachelY 75252 0.31887626 -0.44977508 18.270264 -25.770214
    Oben rechts KachelX + 1 72189 KachelY 75252 0.31892419 -0.44977508 18.273010 -25.770214
    Unten links KachelX 72188 KachelY + 1 75253 0.31887626 -0.44981825 18.270264 -25.772687
    Unten rechts KachelX + 1 72189 KachelY + 1 75253 0.31892419 -0.44981825 18.273010 -25.772687
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.44977508--0.44981825) × R
    4.31699999999813e-05 × 6371000     		dl = 275.036069999881m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.44977508--0.44981825) × R
    4.31699999999813e-05 × 6371000     		dr = 275.036069999881m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31887626-0.31892419) × cos(-0.44977508) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.900544912023422 × 6371000     		do = 274.992222441493m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31887626-0.31892419) × cos(-0.44981825) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.900526142465804 × 6371000     		du = 274.986490931277m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.44977508)-sin(-0.44981825))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.900544912023422-0.900526142465804)×R²
    abs(0.31892419-0.31887626)×1.8769557618592e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.8769557618592e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.8769557618592e-05×40589641000000     		ar = 75631.9919666679m²