Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72187 / 75251
↖ ↑ ↗
← S 25.767740°
E 18.267517°		 ← 275.06 m → S 25.767740°
E 18.270264°		 →
↑
275.04 m
↓
↑
275.04 m
↓
S 25.770214°
E 18.267517°		 ← 275.05 m →
75 649 m²		 S 25.770214°
E 18.270264°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72187 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75251 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550746917724609 y=0.574123382568359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550746917724609 × 217)
    floor (0.550746917724609 × 131072)
    floor (72187.5)     		tx = 72187
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.574123382568359 × 217)
    floor (0.574123382568359 × 131072)
    floor (75251.5)     		ty = 75251
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72187 / 75251 ti = "17/72187/75251"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72187/75251.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72187 ÷ 217
    72187 ÷ 131072     		x = 0.550743103027344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75251 ÷ 217
    75251 ÷ 131072     		y = 0.574119567871094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.550743103027344 × 2 - 1) × π
    0.101486206054688 × 3.1415926535     		Λ = 0.31882832
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.574119567871094 × 2 - 1) × π
    -0.148239135742188 × 3.1415926535     		Φ = -0.465706979808846
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31882832} λ = 0.31882832}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.465706979808846))-π/2
    2×atan(0.627691183293443)-π/2
    2×0.560532207990183-π/2
    1.12106441598037-1.57079632675     		φ = -0.44973191
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31882832} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.267517°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.44973191 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.767740°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72187 KachelY 75251 0.31882832 -0.44973191 18.267517 -25.767740
    Oben rechts KachelX + 1 72188 KachelY 75251 0.31887626 -0.44973191 18.270264 -25.767740
    Unten links KachelX 72187 KachelY + 1 75252 0.31882832 -0.44977508 18.267517 -25.770214
    Unten rechts KachelX + 1 72188 KachelY + 1 75252 0.31887626 -0.44977508 18.270264 -25.770214
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.44973191--0.44977508) × R
    4.31699999999813e-05 × 6371000     		dl = 275.036069999881m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.44973191--0.44977508) × R
    4.31699999999813e-05 × 6371000     		dr = 275.036069999881m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31882832-0.31887626) × cos(-0.44973191) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.900563679902741 × 6371000     		do = 275.055328351556m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31882832-0.31887626) × cos(-0.44977508) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.900544912023422 × 6371000     		du = 275.049596158127m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.44973191)-sin(-0.44977508))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.900563679902741-0.900544912023422)×R²
    abs(0.31887626-0.31882832)×1.87678793189816e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.87678793189816e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.87678793189816e-05×40589641000000     		ar = 75649.3482740299m²