Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72186 / 78650
↖ ↑ ↗
← S 33.856732°
E 18.264770°		 ← 253.64 m → S 33.856732°
E 18.267517°		 →
↑
253.63 m
↓
↑
253.63 m
↓
S 33.859013°
E 18.264770°		 ← 253.63 m →
64 329 m²		 S 33.859013°
E 18.267517°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72186 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78650 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550739288330078 y=0.600055694580078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550739288330078 × 217)
    floor (0.550739288330078 × 131072)
    floor (72186.5)     		tx = 72186
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.600055694580078 × 217)
    floor (0.600055694580078 × 131072)
    floor (78650.5)     		ty = 78650
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72186 / 78650 ti = "17/72186/78650"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72186/78650.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72186 ÷ 217
    72186 ÷ 131072     		x = 0.550735473632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78650 ÷ 217
    78650 ÷ 131072     		y = 0.600051879882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.550735473632812 × 2 - 1) × π
    0.101470947265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.31878038
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.600051879882812 × 2 - 1) × π
    -0.200103759765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.628644501617416
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31878038} λ = 0.31878038}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.628644501617416))-π/2
    2×atan(0.53331421783855)-π/2
    2×0.489942443829977-π/2
    0.979884887659954-1.57079632675     		φ = -0.59091144
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31878038} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.264770°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.59091144 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.856732°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72186 KachelY 78650 0.31878038 -0.59091144 18.264770 -33.856732
    Oben rechts KachelX + 1 72187 KachelY 78650 0.31882832 -0.59091144 18.267517 -33.856732
    Unten links KachelX 72186 KachelY + 1 78651 0.31878038 -0.59095125 18.264770 -33.859013
    Unten rechts KachelX + 1 72187 KachelY + 1 78651 0.31882832 -0.59095125 18.267517 -33.859013
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.59091144--0.59095125) × R
    3.98100000000845e-05 × 6371000     		dl = 253.629510000538m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.59091144--0.59095125) × R
    3.98100000000845e-05 × 6371000     		dr = 253.629510000538m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31878038-0.31882832) × cos(-0.59091144) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.830433244338958 × 6371000     		do = 253.635688172954m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31878038-0.31882832) × cos(-0.59095125) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.830411064807589 × 6371000     		du = 253.628913973173m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.59091144)-sin(-0.59095125))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.830433244338958-0.830411064807589)×R²
    abs(0.31882832-0.31878038)×2.21795313686268e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.21795313686268e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.21795313686268e-05×40589641000000     		ar = 64328.6362498732m²