Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 72184 / 75305
↖ ↑ ↗
← S 25.901233°
E 18.259277°		 ← 274.75 m → S 25.901233°
E 18.262024°		 →
↑
274.72 m
↓
↑
274.72 m
↓
S 25.903703°
E 18.259277°		 ← 274.74 m →
75 477 m²		 S 25.903703°
E 18.262024°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72184 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75305 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550724029541016 y=0.574535369873047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550724029541016 × 217)
    floor (0.550724029541016 × 131072)
    floor (72184.5)     		tx = 72184
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.574535369873047 × 217)
    floor (0.574535369873047 × 131072)
    floor (75305.5)     		ty = 75305
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72184 / 75305 ti = "17/72184/75305"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72184/75305.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72184 ÷ 217
    72184 ÷ 131072     		x = 0.55072021484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75305 ÷ 217
    75305 ÷ 131072     		y = 0.574531555175781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55072021484375 × 2 - 1) × π
    0.1014404296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.31868451
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.574531555175781 × 2 - 1) × π
    -0.149063110351562 × 3.1415926535     		Φ = -0.468295572388329
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31868451} λ = 0.31868451}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.468295572388329))-π/2
    2×atan(0.626068447760879)-π/2
    2×0.55936726840586-π/2
    1.11873453681172-1.57079632675     		φ = -0.45206179
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31868451} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.259277°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.45206179 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.901233°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72184 KachelY 75305 0.31868451 -0.45206179 18.259277 -25.901233
    Oben rechts KachelX + 1 72185 KachelY 75305 0.31873245 -0.45206179 18.262024 -25.901233
    Unten links KachelX 72184 KachelY + 1 75306 0.31868451 -0.45210491 18.259277 -25.903703
    Unten rechts KachelX + 1 72185 KachelY + 1 75306 0.31873245 -0.45210491 18.262024 -25.903703
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.45206179--0.45210491) × R
    4.31200000000076e-05 × 6371000     		dl = 274.717520000048m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.45206179--0.45210491) × R
    4.31200000000076e-05 × 6371000     		dr = 274.717520000048m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31868451-0.31873245) × cos(-0.45206179) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.899548381509751 × 6371000     		do = 274.745230088556m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31868451-0.31873245) × cos(-0.45210491) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.899529544945872 × 6371000     		du = 274.739476917094m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.45206179)-sin(-0.45210491))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.899548381509751-0.899529544945872)×R²
    abs(0.31873245-0.31868451)×1.88365638795762e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.88365638795762e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.88365638795762e-05×40589641000000     		ar = 75476.5380049398m²