Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72183 / 75255
↖ ↑ ↗
← S 25.777634°
E 18.256531°		 ← 275.03 m → S 25.777634°
E 18.259277°		 →
↑
275.04 m
↓
↑
275.04 m
↓
S 25.780107°
E 18.256531°		 ← 275.03 m →
75 643 m²		 S 25.780107°
E 18.259277°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72183 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75255 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550716400146484 y=0.574153900146484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550716400146484 × 217)
    floor (0.550716400146484 × 131072)
    floor (72183.5)     		tx = 72183
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.574153900146484 × 217)
    floor (0.574153900146484 × 131072)
    floor (75255.5)     		ty = 75255
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72183 / 75255 ti = "17/72183/75255"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72183/75255.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72183 ÷ 217
    72183 ÷ 131072     		x = 0.550712585449219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75255 ÷ 217
    75255 ÷ 131072     		y = 0.574150085449219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.550712585449219 × 2 - 1) × π
    0.101425170898438 × 3.1415926535     		Λ = 0.31863657
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.574150085449219 × 2 - 1) × π
    -0.148300170898438 × 3.1415926535     		Φ = -0.465898727407326
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31863657} λ = 0.31863657}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.465898727407326))-π/2
    2×atan(0.627570836554928)-π/2
    2×0.56044587112765-π/2
    1.1208917422553-1.57079632675     		φ = -0.44990458
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31863657} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.256531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.44990458 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.777634°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72183 KachelY 75255 0.31863657 -0.44990458 18.256531 -25.777634
    Oben rechts KachelX + 1 72184 KachelY 75255 0.31868451 -0.44990458 18.259277 -25.777634
    Unten links KachelX 72183 KachelY + 1 75256 0.31863657 -0.44994775 18.256531 -25.780107
    Unten rechts KachelX + 1 72184 KachelY + 1 75256 0.31868451 -0.44994775 18.259277 -25.780107
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.44990458--0.44994775) × R
    4.31699999999813e-05 × 6371000     		dl = 275.036069999881m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.44990458--0.44994775) × R
    4.31699999999813e-05 × 6371000     		dr = 275.036069999881m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31863657-0.31868451) × cos(-0.44990458) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.900488602664604 × 6371000     		do = 275.032397830222m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31863657-0.31868451) × cos(-0.44994775) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.900469828072685 × 6371000     		du = 275.026663586592m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.44990458)-sin(-0.44994775))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.900488602664604-0.900469828072685)×R²
    abs(0.31868451-0.31863657)×1.87745919185689e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.87745919185689e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.87745919185689e-05×40589641000000     		ar = 75643.0412716827m²