Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72182 / 75256
↖ ↑ ↗
← S 25.780107°
E 18.253784°		 ← 275.03 m → S 25.780107°
E 18.256531°		 →
↑
275.04 m
↓
↑
275.04 m
↓
S 25.782581°
E 18.253784°		 ← 275.02 m →
75 641 m²		 S 25.782581°
E 18.256531°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72182 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75256 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550708770751953 y=0.574161529541016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550708770751953 × 217)
    floor (0.550708770751953 × 131072)
    floor (72182.5)     		tx = 72182
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.574161529541016 × 217)
    floor (0.574161529541016 × 131072)
    floor (75256.5)     		ty = 75256
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72182 / 75256 ti = "17/72182/75256"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72182/75256.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72182 ÷ 217
    72182 ÷ 131072     		x = 0.550704956054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75256 ÷ 217
    75256 ÷ 131072     		y = 0.57415771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.550704956054688 × 2 - 1) × π
    0.101409912109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.31858863
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.57415771484375 × 2 - 1) × π
    -0.1483154296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.465946664306946
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31858863} λ = 0.31858863}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.465946664306946))-π/2
    2×atan(0.627540753475782)-π/2
    2×0.560424288036797-π/2
    1.12084857607359-1.57079632675     		φ = -0.44994775
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31858863} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.253784°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.44994775 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.780107°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72182 KachelY 75256 0.31858863 -0.44994775 18.253784 -25.780107
    Oben rechts KachelX + 1 72183 KachelY 75256 0.31863657 -0.44994775 18.256531 -25.780107
    Unten links KachelX 72182 KachelY + 1 75257 0.31858863 -0.44999092 18.253784 -25.782581
    Unten rechts KachelX + 1 72183 KachelY + 1 75257 0.31863657 -0.44999092 18.256531 -25.782581
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.44994775--0.44999092) × R
    4.31700000000368e-05 × 6371000     		dl = 275.036070000234m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.44994775--0.44999092) × R
    4.31700000000368e-05 × 6371000     		dr = 275.036070000234m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31858863-0.31863657) × cos(-0.44994775) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.900469828072685 × 6371000     		do = 275.026663586911m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31858863-0.31863657) × cos(-0.44999092) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.900451051802607 × 6371000     		du = 275.020928830728m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.44994775)-sin(-0.44999092))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.900469828072685-0.900451051802607)×R²
    abs(0.31863657-0.31858863)×1.87762700781802e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.87762700781802e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.87762700781802e-05×40589641000000     		ar = 75641.4640775511m²