Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72179 / 75259
↖ ↑ ↗
← S 25.787526°
E 18.245544°		 ← 275.01 m → S 25.787526°
E 18.248291°		 →
↑
275.04 m
↓
↑
275.04 m
↓
S 25.790000°
E 18.245544°		 ← 275 m →
75 637 m²		 S 25.790000°
E 18.248291°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72179 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75259 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550685882568359 y=0.574184417724609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550685882568359 × 217)
    floor (0.550685882568359 × 131072)
    floor (72179.5)     		tx = 72179
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.574184417724609 × 217)
    floor (0.574184417724609 × 131072)
    floor (75259.5)     		ty = 75259
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72179 / 75259 ti = "17/72179/75259"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72179/75259.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72179 ÷ 217
    72179 ÷ 131072     		x = 0.550682067871094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75259 ÷ 217
    75259 ÷ 131072     		y = 0.574180603027344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.550682067871094 × 2 - 1) × π
    0.101364135742188 × 3.1415926535     		Λ = 0.31844482
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.574180603027344 × 2 - 1) × π
    -0.148361206054688 × 3.1415926535     		Φ = -0.466090475005806
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31844482} λ = 0.31844482}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.466090475005806))-π/2
    2×atan(0.627450512890397)-π/2
    2×0.5603595414642-π/2
    1.1207190829284-1.57079632675     		φ = -0.45007724
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31844482} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.245544°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.45007724 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.787526°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72179 KachelY 75259 0.31844482 -0.45007724 18.245544 -25.787526
    Oben rechts KachelX + 1 72180 KachelY 75259 0.31849276 -0.45007724 18.248291 -25.787526
    Unten links KachelX 72179 KachelY + 1 75260 0.31844482 -0.45012041 18.245544 -25.790000
    Unten rechts KachelX + 1 72180 KachelY + 1 75260 0.31849276 -0.45012041 18.248291 -25.790000
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.45007724--0.45012041) × R
    4.31700000000368e-05 × 6371000     		dl = 275.036070000234m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.45007724--0.45012041) × R
    4.31700000000368e-05 × 6371000     		dr = 275.036070000234m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31844482-0.31849276) × cos(-0.45007724) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.900413502928814 × 6371000     		do = 275.009460437845m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31844482-0.31849276) × cos(-0.45012041) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.900394721625244 × 6371000     		du = 275.003724144304m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.45007724)-sin(-0.45012041))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.900413502928814-0.900394721625244)×R²
    abs(0.31849276-0.31844482)×1.87813035695816e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.87813035695816e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.87813035695816e-05×40589641000000     		ar = 75636.7323796597m²