Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72178 / 75260
↖ ↑ ↗
← S 25.790000°
E 18.242798°		 ← 274.95 m → S 25.790000°
E 18.245544°		 →
↑
274.97 m
↓
↑
274.97 m
↓
S 25.792473°
E 18.242798°		 ← 274.94 m →
75 602 m²		 S 25.792473°
E 18.245544°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72178 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75260 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550678253173828 y=0.574192047119141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550678253173828 × 217)
    floor (0.550678253173828 × 131072)
    floor (72178.5)     		tx = 72178
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.574192047119141 × 217)
    floor (0.574192047119141 × 131072)
    floor (75260.5)     		ty = 75260
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72178 / 75260 ti = "17/72178/75260"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72178/75260.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72178 ÷ 217
    72178 ÷ 131072     		x = 0.550674438476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75260 ÷ 217
    75260 ÷ 131072     		y = 0.574188232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.550674438476562 × 2 - 1) × π
    0.101348876953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.31839689
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.574188232421875 × 2 - 1) × π
    -0.14837646484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.466138411905426
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31839689} λ = 0.31839689}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.466138411905426))-π/2
    2×atan(0.627420435579057)-π/2
    2×0.560337960173425-π/2
    1.12067592034685-1.57079632675     		φ = -0.45012041
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31839689} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.242798°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.45012041 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.790000°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72178 KachelY 75260 0.31839689 -0.45012041 18.242798 -25.790000
    Oben rechts KachelX + 1 72179 KachelY 75260 0.31844482 -0.45012041 18.245544 -25.790000
    Unten links KachelX 72178 KachelY + 1 75261 0.31839689 -0.45016357 18.242798 -25.792473
    Unten rechts KachelX + 1 72179 KachelY + 1 75261 0.31844482 -0.45016357 18.245544 -25.792473
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.45012041--0.45016357) × R
    4.31599999999865e-05 × 6371000     		dl = 274.972359999914m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.45012041--0.45016357) × R
    4.31599999999865e-05 × 6371000     		dr = 274.972359999914m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31839689-0.31844482) × cos(-0.45012041) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.900394721625244 × 6371000     		do = 274.946359996938m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31839689-0.31844482) × cos(-0.45016357) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.900375942994783 × 6371000     		du = 274.94062571622m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.45012041)-sin(-0.45016357))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.900394721625244-0.900375942994783)×R²
    abs(0.31844482-0.31839689)×1.87786304610693e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.87786304610693e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.87786304610693e-05×40589641000000     		ar = 75601.8611090687m²