Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72177 / 94739
↖ ↑ ↗
← S 62.292197°
E 18.240051°		 ← 142.01 m → S 62.292197°
E 18.242798°		 →
↑
142.01 m
↓
↑
142.01 m
↓
S 62.293474°
E 18.240051°		 ← 142.01 m →
20 167 m²		 S 62.293474°
E 18.242798°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72177 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94739 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550670623779297 y=0.722805023193359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550670623779297 × 217)
    floor (0.550670623779297 × 131072)
    floor (72177.5)     		tx = 72177
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.722805023193359 × 217)
    floor (0.722805023193359 × 131072)
    floor (94739.5)     		ty = 94739
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72177 / 94739 ti = "17/72177/94739"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72177/94739.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72177 ÷ 217
    72177 ÷ 131072     		x = 0.550666809082031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94739 ÷ 217
    94739 ÷ 131072     		y = 0.722801208496094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.550666809082031 × 2 - 1) × π
    0.101333618164062 × 3.1415926535     		Λ = 0.31834895
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.722801208496094 × 2 - 1) × π
    -0.445602416992188 × 3.1415926535     		Φ = -1.3999012796045
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31834895} λ = 0.31834895}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.3999012796045))-π/2
    2×atan(0.246621309293088)-π/2
    2×0.241796199653638-π/2
    0.483592399307277-1.57079632675     		φ = -1.08720393
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31834895} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.240051°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08720393 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.292197°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72177 KachelY 94739 0.31834895 -1.08720393 18.240051 -62.292197
    Oben rechts KachelX + 1 72178 KachelY 94739 0.31839689 -1.08720393 18.242798 -62.292197
    Unten links KachelX 72177 KachelY + 1 94740 0.31834895 -1.08722622 18.240051 -62.293474
    Unten rechts KachelX + 1 72178 KachelY + 1 94740 0.31839689 -1.08722622 18.242798 -62.293474
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08720393--1.08722622) × R
    2.22899999999804e-05 × 6371000     		dl = 142.009589999875m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08720393--1.08722622) × R
    2.22899999999804e-05 × 6371000     		dr = 142.009589999875m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31834895-0.31839689) × cos(-1.08720393) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.464962626705912 × 6371000     		do = 142.011554333904m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31834895-0.31839689) × cos(-1.08722622) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.464942892577822 × 6371000     		du = 142.005527023229m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08720393)-sin(-1.08722622))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.464962626705912-0.464942892577822)×R²
    abs(0.31839689-0.31834895)×1.9734128089588e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.9734128089588e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.9734128089588e-05×40589641000000     		ar = 20166.5746390109m²