Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72177 / 75261
↖ ↑ ↗
← S 25.792473°
E 18.240051°		 ← 275 m → S 25.792473°
E 18.242798°		 →
↑
274.97 m
↓
↑
274.97 m
↓
S 25.794946°
E 18.240051°		 ← 274.99 m →
75 616 m²		 S 25.794946°
E 18.242798°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72177 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75261 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550670623779297 y=0.574199676513672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550670623779297 × 217)
    floor (0.550670623779297 × 131072)
    floor (72177.5)     		tx = 72177
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.574199676513672 × 217)
    floor (0.574199676513672 × 131072)
    floor (75261.5)     		ty = 75261
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72177 / 75261 ti = "17/72177/75261"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72177/75261.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72177 ÷ 217
    72177 ÷ 131072     		x = 0.550666809082031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75261 ÷ 217
    75261 ÷ 131072     		y = 0.574195861816406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.550666809082031 × 2 - 1) × π
    0.101333618164062 × 3.1415926535     		Λ = 0.31834895
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.574195861816406 × 2 - 1) × π
    -0.148391723632812 × 3.1415926535     		Φ = -0.466186348805046
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31834895} λ = 0.31834895}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.466186348805046))-π/2
    2×atan(0.627390359709495)-π/2
    2×0.560316379332747-π/2
    1.12063275866549-1.57079632675     		φ = -0.45016357
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31834895} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.240051°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.45016357 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.792473°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72177 KachelY 75261 0.31834895 -0.45016357 18.240051 -25.792473
    Oben rechts KachelX + 1 72178 KachelY 75261 0.31839689 -0.45016357 18.242798 -25.792473
    Unten links KachelX 72177 KachelY + 1 75262 0.31834895 -0.45020673 18.240051 -25.794946
    Unten rechts KachelX + 1 72178 KachelY + 1 75262 0.31839689 -0.45020673 18.242798 -25.794946
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.45016357--0.45020673) × R
    4.31599999999865e-05 × 6371000     		dl = 274.972359999914m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.45016357--0.45020673) × R
    4.31599999999865e-05 × 6371000     		dr = 274.972359999914m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31834895-0.31839689) × cos(-0.45016357) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.900375942994783 × 6371000     		do = 274.997988667199m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31834895-0.31839689) × cos(-0.45020673) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.900357162687115 × 6371000     		du = 274.992252677832m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.45016357)-sin(-0.45020673))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.900375942994783-0.900357162687115)×R²
    abs(0.31839689-0.31834895)×1.87803076684423e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.87803076684423e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.87803076684423e-05×40589641000000     		ar = 75616.0573315942m²