Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72176 / 77296
↖ ↑ ↗
← S 30.713504°
E 18.237304°		 ← 262.58 m → S 30.713504°
E 18.240051°		 →
↑
262.55 m
↓
↑
262.55 m
↓
S 30.715865°
E 18.237304°		 ← 262.58 m →
68 940 m²		 S 30.715865°
E 18.240051°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72176 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77296 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550662994384766 y=0.589725494384766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550662994384766 × 217)
    floor (0.550662994384766 × 131072)
    floor (72176.5)     		tx = 72176
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.589725494384766 × 217)
    floor (0.589725494384766 × 131072)
    floor (77296.5)     		ty = 77296
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72176 / 77296 ti = "17/72176/77296"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72176/77296.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72176 ÷ 217
    72176 ÷ 131072     		x = 0.5506591796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77296 ÷ 217
    77296 ÷ 131072     		y = 0.5897216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5506591796875 × 2 - 1) × π
    0.101318359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.31830101
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5897216796875 × 2 - 1) × π
    -0.179443359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.56373793953186
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31830101} λ = 0.31830101}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.56373793953186))-π/2
    2×atan(0.569077904461971)-π/2
    2×0.517372278676319-π/2
    1.03474455735264-1.57079632675     		φ = -0.53605177
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31830101} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.237304°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53605177 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.713504°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72176 KachelY 77296 0.31830101 -0.53605177 18.237304 -30.713504
    Oben rechts KachelX + 1 72177 KachelY 77296 0.31834895 -0.53605177 18.240051 -30.713504
    Unten links KachelX 72176 KachelY + 1 77297 0.31830101 -0.53609298 18.237304 -30.715865
    Unten rechts KachelX + 1 72177 KachelY + 1 77297 0.31834895 -0.53609298 18.240051 -30.715865
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53605177--0.53609298) × R
    4.12100000000137e-05 × 6371000     		dl = 262.548910000088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53605177--0.53609298) × R
    4.12100000000137e-05 × 6371000     		dr = 262.548910000088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31830101-0.31834895) × cos(-0.53605177) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.859731918040387 × 6371000     		do = 262.584257269236m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31830101-0.31834895) × cos(-0.53609298) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.859710869485757 × 6371000     		du = 262.577828498863m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53605177)-sin(-0.53609298))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.859731918040387-0.859710869485757)×R²
    abs(0.31834895-0.31830101)×2.10485546299211e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.10485546299211e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.10485546299211e-05×40589641000000     		ar = 68940.3666055699m²