Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72176 / 75227
↖ ↑ ↗
← S 25.708362°
E 18.237304°		 ← 275.19 m → S 25.708362°
E 18.240051°		 →
↑
275.16 m
↓
↑
275.16 m
↓
S 25.710837°
E 18.237304°		 ← 275.19 m →
75 722 m²		 S 25.710837°
E 18.240051°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72176 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75227 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550662994384766 y=0.573940277099609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550662994384766 × 217)
    floor (0.550662994384766 × 131072)
    floor (72176.5)     		tx = 72176
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.573940277099609 × 217)
    floor (0.573940277099609 × 131072)
    floor (75227.5)     		ty = 75227
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72176 / 75227 ti = "17/72176/75227"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72176/75227.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72176 ÷ 217
    72176 ÷ 131072     		x = 0.5506591796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75227 ÷ 217
    75227 ÷ 131072     		y = 0.573936462402344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5506591796875 × 2 - 1) × π
    0.101318359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.31830101
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.573936462402344 × 2 - 1) × π
    -0.147872924804688 × 3.1415926535     		Φ = -0.464556494217964
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31830101} λ = 0.31830101}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.464556494217964))-π/2
    2×atan(0.62841374852609)-π/2
    2×0.561050380235485-π/2
    1.12210076047097-1.57079632675     		φ = -0.44869557
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31830101} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.237304°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.44869557 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.708362°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72176 KachelY 75227 0.31830101 -0.44869557 18.237304 -25.708362
    Oben rechts KachelX + 1 72177 KachelY 75227 0.31834895 -0.44869557 18.240051 -25.708362
    Unten links KachelX 72176 KachelY + 1 75228 0.31830101 -0.44873876 18.237304 -25.710837
    Unten rechts KachelX + 1 72177 KachelY + 1 75228 0.31834895 -0.44873876 18.240051 -25.710837
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.44869557--0.44873876) × R
    4.31900000000263e-05 × 6371000     		dl = 275.163490000167m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.44869557--0.44873876) × R
    4.31900000000263e-05 × 6371000     		dr = 275.163490000167m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31830101-0.31834895) × cos(-0.44869557) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.901013718211231 × 6371000     		do = 275.192781634955m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31830101-0.31834895) × cos(-0.44873876) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.900994981955109 × 6371000     		du = 275.187059100064m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.44869557)-sin(-0.44873876))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.901013718211231-0.900994981955109)×R²
    abs(0.31834895-0.31830101)×1.87362561213655e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.87362561213655e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.87362561213655e-05×40589641000000     		ar = 75722.2189129685m²