Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72175 / 94735
↖ ↑ ↗
← S 62.287088°
E 18.234558°		 ← 142.01 m → S 62.287088°
E 18.237304°		 →
↑
142.07 m
↓
↑
142.07 m
↓
S 62.288365°
E 18.234558°		 ← 142 m →
20 175 m²		 S 62.288365°
E 18.237304°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72175 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94735 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550655364990234 y=0.722774505615234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550655364990234 × 217)
    floor (0.550655364990234 × 131072)
    floor (72175.5)     		tx = 72175
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.722774505615234 × 217)
    floor (0.722774505615234 × 131072)
    floor (94735.5)     		ty = 94735
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72175 / 94735 ti = "17/72175/94735"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72175/94735.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72175 ÷ 217
    72175 ÷ 131072     		x = 0.550651550292969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94735 ÷ 217
    94735 ÷ 131072     		y = 0.722770690917969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.550651550292969 × 2 - 1) × π
    0.101303100585938 × 3.1415926535     		Λ = 0.31825308
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.722770690917969 × 2 - 1) × π
    -0.445541381835938 × 3.1415926535     		Φ = -1.39970953200602
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31825308} λ = 0.31825308}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39970953200602))-π/2
    2×atan(0.246668602870949)-π/2
    2×0.241840781171291-π/2
    0.483681562342582-1.57079632675     		φ = -1.08711476
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31825308} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.234558°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08711476 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.287088°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72175 KachelY 94735 0.31825308 -1.08711476 18.234558 -62.287088
    Oben rechts KachelX + 1 72176 KachelY 94735 0.31830101 -1.08711476 18.237304 -62.287088
    Unten links KachelX 72175 KachelY + 1 94736 0.31825308 -1.08713706 18.234558 -62.288365
    Unten rechts KachelX + 1 72176 KachelY + 1 94736 0.31830101 -1.08713706 18.237304 -62.288365
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08711476--1.08713706) × R
    2.23000000001417e-05 × 6371000     		dl = 142.073300000902m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08711476--1.08713706) × R
    2.23000000001417e-05 × 6371000     		dr = 142.073300000902m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31825308-0.31830101) × cos(-1.08711476) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.465041569760921 × 6371000     		do = 142.006037776504m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31825308-0.31830101) × cos(-1.08713706) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.465021827704057 × 6371000     		du = 142.000009301944m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08711476)-sin(-1.08713706))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.465041569760921-0.465021827704057)×R²
    abs(0.31830101-0.31825308)×1.97420568636142e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.97420568636142e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.97420568636142e-05×40589641000000     		ar = 20174.8381651307m²