Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 72175 / 75561
↖ ↑ ↗
← S 26.532023°
E 18.234558°		 ← 273.20 m → S 26.532023°
E 18.237304°		 →
↑
273.25 m
↓
↑
273.25 m
↓
S 26.534480°
E 18.234558°		 ← 273.20 m →
74 652 m²		 S 26.534480°
E 18.237304°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72175 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75561 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550655364990234 y=0.576488494873047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550655364990234 × 217)
    floor (0.550655364990234 × 131072)
    floor (72175.5)     		tx = 72175
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.576488494873047 × 217)
    floor (0.576488494873047 × 131072)
    floor (75561.5)     		ty = 75561
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72175 / 75561 ti = "17/72175/75561"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72175/75561.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72175 ÷ 217
    72175 ÷ 131072     		x = 0.550651550292969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75561 ÷ 217
    75561 ÷ 131072     		y = 0.576484680175781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.550651550292969 × 2 - 1) × π
    0.101303100585938 × 3.1415926535     		Λ = 0.31825308
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.576484680175781 × 2 - 1) × π
    -0.152969360351562 × 3.1415926535     		Φ = -0.480567418691063
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31825308} λ = 0.31825308}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.480567418691063))-π/2
    2×atan(0.618432382138052)-π/2
    2×0.553862587700067-π/2
    1.10772517540013-1.57079632675     		φ = -0.46307115
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31825308} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.234558°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46307115 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.532023°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72175 KachelY 75561 0.31825308 -0.46307115 18.234558 -26.532023
    Oben rechts KachelX + 1 72176 KachelY 75561 0.31830101 -0.46307115 18.237304 -26.532023
    Unten links KachelX 72175 KachelY + 1 75562 0.31825308 -0.46311404 18.234558 -26.534480
    Unten rechts KachelX + 1 72176 KachelY + 1 75562 0.31830101 -0.46311404 18.237304 -26.534480
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46307115--0.46311404) × R
    4.28900000000176e-05 × 6371000     		dl = 273.252190000112m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46307115--0.46311404) × R
    4.28900000000176e-05 × 6371000     		dr = 273.252190000112m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31825308-0.31830101) × cos(-0.46307115) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.894684842676746 × 6371000     		do = 273.202779769853m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31825308-0.31830101) × cos(-0.46311404) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.894665682980027 × 6371000     		du = 273.196929125968m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46307115)-sin(-0.46311404))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.894684842676746-0.894665682980027)×R²
    abs(0.31830101-0.31825308)×1.91596967190621e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.91596967190621e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.91596967190621e-05×40589641000000     		ar = 74652.4585470404m²