Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72175 / 75319
↖ ↑ ↗
← S 25.935817°
E 18.234558°		 ← 274.61 m → S 25.935817°
E 18.237304°		 →
↑
274.65 m
↓
↑
274.65 m
↓
S 25.938287°
E 18.234558°		 ← 274.60 m →
75 421 m²		 S 25.938287°
E 18.237304°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72175 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75319 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550655364990234 y=0.574642181396484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550655364990234 × 217)
    floor (0.550655364990234 × 131072)
    floor (72175.5)     		tx = 72175
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.574642181396484 × 217)
    floor (0.574642181396484 × 131072)
    floor (75319.5)     		ty = 75319
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72175 / 75319 ti = "17/72175/75319"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72175/75319.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72175 ÷ 217
    72175 ÷ 131072     		x = 0.550651550292969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75319 ÷ 217
    75319 ÷ 131072     		y = 0.574638366699219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.550651550292969 × 2 - 1) × π
    0.101303100585938 × 3.1415926535     		Λ = 0.31825308
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.574638366699219 × 2 - 1) × π
    -0.149276733398438 × 3.1415926535     		Φ = -0.468966688983009
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31825308} λ = 0.31825308}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.468966688983009))-π/2
    2×atan(0.625648423794473)-π/2
    2×0.559065461741582-π/2
    1.11813092348316-1.57079632675     		φ = -0.45266540
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31825308} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.234558°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.45266540 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.935817°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72175 KachelY 75319 0.31825308 -0.45266540 18.234558 -25.935817
    Oben rechts KachelX + 1 72176 KachelY 75319 0.31830101 -0.45266540 18.237304 -25.935817
    Unten links KachelX 72175 KachelY + 1 75320 0.31825308 -0.45270851 18.234558 -25.938287
    Unten rechts KachelX + 1 72176 KachelY + 1 75320 0.31830101 -0.45270851 18.237304 -25.938287
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.45266540--0.45270851) × R
    4.31100000000129e-05 × 6371000     		dl = 274.653810000082m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.45266540--0.45270851) × R
    4.31100000000129e-05 × 6371000     		dr = 274.653810000082m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31825308-0.31830101) × cos(-0.45266540) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.899284548043788 × 6371000     		do = 274.607355138134m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31825308-0.31830101) × cos(-0.45270851) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.899265692444473 × 6371000     		du = 274.60159735405m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.45266540)-sin(-0.45270851))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.899284548043788-0.899265692444473)×R²
    abs(0.31830101-0.31825308)×1.88555993156925e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.88555993156925e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.88555993156925e-05×40589641000000     		ar = 75421.1656557875m²