Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72173 / 75569
↖ ↑ ↗
← S 26.551680°
E 18.229065°		 ← 273.21 m → S 26.551680°
E 18.231812°		 →
↑
273.19 m
↓
↑
273.19 m
↓
S 26.554136°
E 18.229065°		 ← 273.21 m →
74 638 m²		 S 26.554136°
E 18.231812°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72173 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75569 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550640106201172 y=0.576549530029297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550640106201172 × 217)
    floor (0.550640106201172 × 131072)
    floor (72173.5)     		tx = 72173
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.576549530029297 × 217)
    floor (0.576549530029297 × 131072)
    floor (75569.5)     		ty = 75569
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72173 / 75569 ti = "17/72173/75569"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72173/75569.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72173 ÷ 217
    72173 ÷ 131072     		x = 0.550636291503906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75569 ÷ 217
    75569 ÷ 131072     		y = 0.576545715332031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.550636291503906 × 2 - 1) × π
    0.101272583007812 × 3.1415926535     		Λ = 0.31815720
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.576545715332031 × 2 - 1) × π
    -0.153091430664062 × 3.1415926535     		Φ = -0.480950913888023
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31815720} λ = 0.31815720}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.480950913888023))-π/2
    2×atan(0.618195261760026)-π/2
    2×0.553691048726863-π/2
    1.10738209745373-1.57079632675     		φ = -0.46341423
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31815720} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.229065°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46341423 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.551680°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72173 KachelY 75569 0.31815720 -0.46341423 18.229065 -26.551680
    Oben rechts KachelX + 1 72174 KachelY 75569 0.31820514 -0.46341423 18.231812 -26.551680
    Unten links KachelX 72173 KachelY + 1 75570 0.31815720 -0.46345711 18.229065 -26.554136
    Unten rechts KachelX + 1 72174 KachelY + 1 75570 0.31820514 -0.46345711 18.231812 -26.554136
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46341423--0.46345711) × R
    4.28800000000229e-05 × 6371000     		dl = 273.188480000146m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46341423--0.46345711) × R
    4.28800000000229e-05 × 6371000     		dr = 273.188480000146m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31815720-0.31820514) × cos(-0.46341423) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.894531536903206 × 6371000     		do = 273.212956612136m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31815720-0.31820514) × cos(-0.46345711) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.894512368513167 × 6371000     		du = 273.207102092424m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46341423)-sin(-0.46345711))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.894531536903206-0.894512368513167)×R²
    abs(0.31820514-0.31815720)×1.91683900383488e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.91683900383488e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.91683900383488e-05×40589641000000     		ar = 74637.8326508986m²