Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72172 / 75238
↖ ↑ ↗
← S 25.735581°
E 18.226319°		 ← 275.07 m → S 25.735581°
E 18.229065°		 →
↑
275.10 m
↓
↑
275.10 m
↓
S 25.738055°
E 18.226319°		 ← 275.07 m →
75 672 m²		 S 25.738055°
E 18.229065°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72172 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75238 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550632476806641 y=0.574024200439453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550632476806641 × 217)
    floor (0.550632476806641 × 131072)
    floor (72172.5)     		tx = 72172
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.574024200439453 × 217)
    floor (0.574024200439453 × 131072)
    floor (75238.5)     		ty = 75238
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72172 / 75238 ti = "17/72172/75238"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72172/75238.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72172 ÷ 217
    72172 ÷ 131072     		x = 0.550628662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75238 ÷ 217
    75238 ÷ 131072     		y = 0.574020385742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.550628662109375 × 2 - 1) × π
    0.10125732421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.31810927
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.574020385742188 × 2 - 1) × π
    -0.148040771484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.465083800113785
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31810927} λ = 0.31810927}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.465083800113785))-π/2
    2×atan(0.628082469601819)-π/2
    2×0.560812852488211-π/2
    1.12162570497642-1.57079632675     		φ = -0.44917062
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31810927} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.226319°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.44917062 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.735581°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72172 KachelY 75238 0.31810927 -0.44917062 18.226319 -25.735581
    Oben rechts KachelX + 1 72173 KachelY 75238 0.31815720 -0.44917062 18.229065 -25.735581
    Unten links KachelX 72172 KachelY + 1 75239 0.31810927 -0.44921380 18.226319 -25.738055
    Unten rechts KachelX + 1 72173 KachelY + 1 75239 0.31815720 -0.44921380 18.229065 -25.738055
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.44917062--0.44921380) × R
    4.3179999999976e-05 × 6371000     		dl = 275.099779999847m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.44917062--0.44921380) × R
    4.3179999999976e-05 × 6371000     		dr = 275.099779999847m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31810927-0.31815720) × cos(-0.44917062) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.90080754433021 × 6371000     		do = 275.072420375838m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31810927-0.31815720) × cos(-0.44921380) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.900788793932503 × 6371000     		du = 275.066694716331m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.44917062)-sin(-0.44921380))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.90080754433021-0.900788793932503)×R²
    abs(0.31815720-0.31810927)×1.87503977070458e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.87503977070458e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.87503977070458e-05×40589641000000     		ar = 75671.5747772935m²