Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72171 / 75323
↖ ↑ ↗
← S 25.945696°
E 18.223572°		 ← 274.64 m → S 25.945696°
E 18.226319°		 →
↑
274.65 m
↓
↑
274.65 m
↓
S 25.948166°
E 18.223572°		 ← 274.64 m →
75 431 m²		 S 25.948166°
E 18.226319°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72171 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75323 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550624847412109 y=0.574672698974609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550624847412109 × 217)
    floor (0.550624847412109 × 131072)
    floor (72171.5)     		tx = 72171
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.574672698974609 × 217)
    floor (0.574672698974609 × 131072)
    floor (75323.5)     		ty = 75323
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72171 / 75323 ti = "17/72171/75323"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72171/75323.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72171 ÷ 217
    72171 ÷ 131072     		x = 0.550621032714844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75323 ÷ 217
    75323 ÷ 131072     		y = 0.574668884277344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.550621032714844 × 2 - 1) × π
    0.101242065429688 × 3.1415926535     		Λ = 0.31806133
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.574668884277344 × 2 - 1) × π
    -0.149337768554688 × 3.1415926535     		Φ = -0.46915843658149
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31806133} λ = 0.31806133}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.46915843658149))-π/2
    2×atan(0.625528468712634)-π/2
    2×0.558979247531093-π/2
    1.11795849506219-1.57079632675     		φ = -0.45283783
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31806133} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.223572°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.45283783 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.945696°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72171 KachelY 75323 0.31806133 -0.45283783 18.223572 -25.945696
    Oben rechts KachelX + 1 72172 KachelY 75323 0.31810927 -0.45283783 18.226319 -25.945696
    Unten links KachelX 72171 KachelY + 1 75324 0.31806133 -0.45288094 18.223572 -25.948166
    Unten rechts KachelX + 1 72172 KachelY + 1 75324 0.31810927 -0.45288094 18.226319 -25.948166
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.45283783--0.45288094) × R
    4.31100000000129e-05 × 6371000     		dl = 274.653810000082m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.45283783--0.45288094) × R
    4.31100000000129e-05 × 6371000     		dr = 274.653810000082m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31806133-0.31810927) × cos(-0.45283783) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.899209119994296 × 6371000     		do = 274.641610889144m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31806133-0.31810927) × cos(-0.45288094) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.899190257710537 × 6371000     		du = 274.635849862169m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.45283783)-sin(-0.45288094))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.899209119994296-0.899190257710537)×R²
    abs(0.31810927-0.31806133)×1.88622837585806e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.88622837585806e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.88622837585806e-05×40589641000000     		ar = 75430.5736828856m²