Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72170 / 75321
↖ ↑ ↗
← S 25.940757°
E 18.220825°		 ← 274.65 m → S 25.940757°
E 18.223572°		 →
↑
274.65 m
↓
↑
274.65 m
↓
S 25.943227°
E 18.220825°		 ← 274.65 m →
75 434 m²		 S 25.943227°
E 18.223572°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72170 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75321 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550617218017578 y=0.574657440185547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550617218017578 × 217)
    floor (0.550617218017578 × 131072)
    floor (72170.5)     		tx = 72170
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.574657440185547 × 217)
    floor (0.574657440185547 × 131072)
    floor (75321.5)     		ty = 75321
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72170 / 75321 ti = "17/72170/75321"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72170/75321.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72170 ÷ 217
    72170 ÷ 131072     		x = 0.550613403320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75321 ÷ 217
    75321 ÷ 131072     		y = 0.574653625488281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.550613403320312 × 2 - 1) × π
    0.101226806640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.31801339
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.574653625488281 × 2 - 1) × π
    -0.149307250976562 × 3.1415926535     		Φ = -0.469062562782249
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31801339} λ = 0.31801339}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.469062562782249))-π/2
    2×atan(0.625588443378416)-π/2
    2×0.559022353732399-π/2
    1.1180447074648-1.57079632675     		φ = -0.45275162
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31801339} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.220825°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.45275162 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.940757°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72170 KachelY 75321 0.31801339 -0.45275162 18.220825 -25.940757
    Oben rechts KachelX + 1 72171 KachelY 75321 0.31806133 -0.45275162 18.223572 -25.940757
    Unten links KachelX 72170 KachelY + 1 75322 0.31801339 -0.45279473 18.220825 -25.943227
    Unten rechts KachelX + 1 72171 KachelY + 1 75322 0.31806133 -0.45279473 18.223572 -25.943227
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.45275162--0.45279473) × R
    4.31099999999573e-05 × 6371000     		dl = 274.653809999728m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.45275162--0.45279473) × R
    4.31099999999573e-05 × 6371000     		dr = 274.653809999728m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31801339-0.31806133) × cos(-0.45275162) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.899246835173897 × 6371000     		do = 274.653130075465m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31801339-0.31806133) × cos(-0.45279473) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.899227976232096 × 6371000     		du = 274.64737006921m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.45275162)-sin(-0.45279473))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.899246835173897-0.899227976232096)×R²
    abs(0.31806133-0.31801339)×1.8858941801092e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.8858941801092e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.8858941801092e-05×40589641000000     		ar = 75433.7376114359m²