Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7217 / 5553
↖ ↑ ↗
← N 50.050085°
W 21.423340°		 ← 1 568.87 m → N 50.050085°
W 21.401367°		 →
↑
1 569.05 m
↓
↑
1 569.05 m
↓
N 50.035974°
W 21.423340°		 ← 1 569.33 m →
2 462 001 m²		 N 50.035974°
W 21.401367°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7217 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5553 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440521240234375 y=0.338958740234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440521240234375 × 214)
    floor (0.440521240234375 × 16384)
    floor (7217.5)     		tx = 7217
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338958740234375 × 214)
    floor (0.338958740234375 × 16384)
    floor (5553.5)     		ty = 5553
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7217 / 5553 ti = "14/7217/5553"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7217/5553.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7217 ÷ 214
    7217 ÷ 16384     		x = 0.44049072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5553 ÷ 214
    5553 ÷ 16384     		y = 0.33892822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44049072265625 × 2 - 1) × π
    -0.1190185546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.37390782
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33892822265625 × 2 - 1) × π
    0.3221435546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.01204382477863
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37390782} λ = -0.37390782}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01204382477863))-π/2
    2×atan(2.75121828080175)-π/2
    2×1.2221675485307-π/2
    2.44433509706139-1.57079632675     		φ = 0.87353877
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37390782} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.423340°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87353877 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.050085°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7217 KachelY 5553 -0.37390782 0.87353877 -21.423340 50.050085
    Oben rechts KachelX + 1 7218 KachelY 5553 -0.37352432 0.87353877 -21.401367 50.050085
    Unten links KachelX 7217 KachelY + 1 5554 -0.37390782 0.87329249 -21.423340 50.035974
    Unten rechts KachelX + 1 7218 KachelY + 1 5554 -0.37352432 0.87329249 -21.401367 50.035974
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87353877-0.87329249) × R
    0.000246280000000043 × 6371000     		dl = 1569.04988000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87353877-0.87329249) × R
    0.000246280000000043 × 6371000     		dr = 1569.04988000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37390782--0.37352432) × cos(0.87353877) × R
    0.000383499999999981 × 0.642117731030057 × 6371000     		do = 1568.87244669444m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37390782--0.37352432) × cos(0.87329249) × R
    0.000383499999999981 × 0.642306511290056 × 6371000     		du = 1569.33368944492m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87353877)-sin(0.87329249))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.642117731030057-0.642306511290056)×R²
    abs(-0.37352432--0.37390782)×0.0001887802599988×R²
    0.000383499999999981×0.0001887802599988×6371000²
    0.000383499999999981×0.0001887802599988×40589641000000     		ar = 2462000.99310674m²