Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7217 / 10645
↖ ↑ ↗
← S 47.353710°
W 21.423340°		 ← 1 655.25 m → S 47.353710°
W 21.401367°		 →
↑
1 654.99 m
↓
↑
1 654.99 m
↓
S 47.368594°
W 21.423340°		 ← 1 654.78 m →
2 739 042 m²		 S 47.368594°
W 21.401367°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7217 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10645 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440521240234375 y=0.649749755859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440521240234375 × 214)
    floor (0.440521240234375 × 16384)
    floor (7217.5)     		tx = 7217
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.649749755859375 × 214)
    floor (0.649749755859375 × 16384)
    floor (10645.5)     		ty = 10645
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7217 / 10645 ti = "14/7217/10645"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7217/10645.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7217 ÷ 214
    7217 ÷ 16384     		x = 0.44049072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10645 ÷ 214
    10645 ÷ 16384     		y = 0.64971923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44049072265625 × 2 - 1) × π
    -0.1190185546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.37390782
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64971923828125 × 2 - 1) × π
    -0.2994384765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.940713718143982
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37390782} λ = -0.37390782}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.940713718143982))-π/2
    2×atan(0.390349136652873)-π/2
    2×0.372159081732998-π/2
    0.744318163465996-1.57079632675     		φ = -0.82647816
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37390782} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.423340°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82647816 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.353710°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7217 KachelY 10645 -0.37390782 -0.82647816 -21.423340 -47.353710
    Oben rechts KachelX + 1 7218 KachelY 10645 -0.37352432 -0.82647816 -21.401367 -47.353710
    Unten links KachelX 7217 KachelY + 1 10646 -0.37390782 -0.82673793 -21.423340 -47.368594
    Unten rechts KachelX + 1 7218 KachelY + 1 10646 -0.37352432 -0.82673793 -21.401367 -47.368594
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82647816--0.82673793) × R
    0.000259769999999993 × 6371000     		dl = 1654.99466999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82647816--0.82673793) × R
    0.000259769999999993 × 6371000     		dr = 1654.99466999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37390782--0.37352432) × cos(-0.82647816) × R
    0.000383499999999981 × 0.677470445560675 × 6371000     		do = 1655.24897402374m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37390782--0.37352432) × cos(-0.82673793) × R
    0.000383499999999981 × 0.677279348882573 × 6371000     		du = 1654.78207161871m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82647816)-sin(-0.82673793))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.677470445560675-0.677279348882573)×R²
    abs(-0.37352432--0.37390782)×0.00019109667810191×R²
    0.000383499999999981×0.00019109667810191×6371000²
    0.000383499999999981×0.00019109667810191×40589641000000     		ar = 2739041.88443783m²