Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72166 / 75322
↖ ↑ ↗
← S 25.943227°
E 18.209839°		 ← 274.65 m → S 25.943227°
E 18.212585°		 →
↑
274.59 m
↓
↑
274.59 m
↓
S 25.945696°
E 18.209839°		 ← 274.64 m →
75 415 m²		 S 25.945696°
E 18.212585°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72166 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75322 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550586700439453 y=0.574665069580078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550586700439453 × 217)
    floor (0.550586700439453 × 131072)
    floor (72166.5)     		tx = 72166
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.574665069580078 × 217)
    floor (0.574665069580078 × 131072)
    floor (75322.5)     		ty = 75322
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72166 / 75322 ti = "17/72166/75322"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72166/75322.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72166 ÷ 217
    72166 ÷ 131072     		x = 0.550582885742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75322 ÷ 217
    75322 ÷ 131072     		y = 0.574661254882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.550582885742188 × 2 - 1) × π
    0.101165771484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.31782164
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.574661254882812 × 2 - 1) × π
    -0.149322509765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.46911049968187
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31782164} λ = 0.31782164}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.46911049968187))-π/2
    2×atan(0.625558455326775)-π/2
    2×0.559000800405746-π/2
    1.11800160081149-1.57079632675     		φ = -0.45279473
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31782164} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.209839°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.45279473 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.943227°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72166 KachelY 75322 0.31782164 -0.45279473 18.209839 -25.943227
    Oben rechts KachelX + 1 72167 KachelY 75322 0.31786958 -0.45279473 18.212585 -25.943227
    Unten links KachelX 72166 KachelY + 1 75323 0.31782164 -0.45283783 18.209839 -25.945696
    Unten rechts KachelX + 1 72167 KachelY + 1 75323 0.31786958 -0.45283783 18.212585 -25.945696
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.45279473--0.45283783) × R
    4.31000000000181e-05 × 6371000     		dl = 274.590100000115m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.45279473--0.45283783) × R
    4.31000000000181e-05 × 6371000     		dr = 274.590100000115m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31782164-0.31786958) × cos(-0.45279473) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.899227976232096 × 6371000     		do = 274.64737006921m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31782164-0.31786958) × cos(-0.45283783) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.899209119994296 × 6371000     		du = 274.641610888826m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.45279473)-sin(-0.45283783))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.899227976232096-0.899209119994296)×R²
    abs(0.31786958-0.31782164)×1.885623780018e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.885623780018e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.885623780018e-05×40589641000000     		ar = 75414.6581168646m²