Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72165 / 75221
↖ ↑ ↗
← S 25.693513°
E 18.207092°		 ← 275.17 m → S 25.693513°
E 18.209839°		 →
↑
275.23 m
↓
↑
275.23 m
↓
S 25.695988°
E 18.207092°		 ← 275.16 m →
75 733 m²		 S 25.695988°
E 18.209839°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72165 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75221 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550579071044922 y=0.573894500732422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550579071044922 × 217)
    floor (0.550579071044922 × 131072)
    floor (72165.5)     		tx = 72165
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.573894500732422 × 217)
    floor (0.573894500732422 × 131072)
    floor (75221.5)     		ty = 75221
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72165 / 75221 ti = "17/72165/75221"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72165/75221.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72165 ÷ 217
    72165 ÷ 131072     		x = 0.550575256347656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75221 ÷ 217
    75221 ÷ 131072     		y = 0.573890686035156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.550575256347656 × 2 - 1) × π
    0.101150512695312 × 3.1415926535     		Λ = 0.31777371
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.573890686035156 × 2 - 1) × π
    -0.147781372070312 × 3.1415926535     		Φ = -0.464268872820244
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31777371} λ = 0.31777371}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.464268872820244))-π/2
    2×atan(0.62859451976238)-π/2
    2×0.561179963730496-π/2
    1.12235992746099-1.57079632675     		φ = -0.44843640
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31777371} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.207092°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.44843640 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.693513°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72165 KachelY 75221 0.31777371 -0.44843640 18.207092 -25.693513
    Oben rechts KachelX + 1 72166 KachelY 75221 0.31782164 -0.44843640 18.209839 -25.693513
    Unten links KachelX 72165 KachelY + 1 75222 0.31777371 -0.44847960 18.207092 -25.695988
    Unten rechts KachelX + 1 72166 KachelY + 1 75222 0.31782164 -0.44847960 18.209839 -25.695988
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.44843640--0.44847960) × R
    4.31999999999655e-05 × 6371000     		dl = 275.22719999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.44843640--0.44847960) × R
    4.31999999999655e-05 × 6371000     		dr = 275.22719999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31777371-0.31782164) × cos(-0.44843640) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.901126113458129 × 6371000     		do = 275.169699291753m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31777371-0.31782164) × cos(-0.44847960) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.901107382952117 × 6371000     		du = 275.163979706414m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.44843640)-sin(-0.44847960))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.901126113458129-0.901107382952117)×R²
    abs(0.31782164-0.31777371)×1.87305060127541e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.87305060127541e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.87305060127541e-05×40589641000000     		ar = 75733.3987798695m²