Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72164 / 78636
↖ ↑ ↗
← S 33.824794°
E 18.204346°		 ← 253.73 m → S 33.824794°
E 18.207092°		 →
↑
253.69 m
↓
↑
253.69 m
↓
S 33.827075°
E 18.204346°		 ← 253.72 m →
64 369 m²		 S 33.827075°
E 18.207092°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72164 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78636 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550571441650391 y=0.599948883056641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550571441650391 × 217)
    floor (0.550571441650391 × 131072)
    floor (72164.5)     		tx = 72164
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.599948883056641 × 217)
    floor (0.599948883056641 × 131072)
    floor (78636.5)     		ty = 78636
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72164 / 78636 ti = "17/72164/78636"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72164/78636.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72164 ÷ 217
    72164 ÷ 131072     		x = 0.550567626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78636 ÷ 217
    78636 ÷ 131072     		y = 0.599945068359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.550567626953125 × 2 - 1) × π
    0.10113525390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.31772577
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.599945068359375 × 2 - 1) × π
    -0.19989013671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.627973385022736
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31772577} λ = 0.31772577}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.627973385022736))-π/2
    2×atan(0.533672253988884)-π/2
    2×0.49022115468176-π/2
    0.980442309363519-1.57079632675     		φ = -0.59035402
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31772577} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.204346°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.59035402 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.824794°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72164 KachelY 78636 0.31772577 -0.59035402 18.204346 -33.824794
    Oben rechts KachelX + 1 72165 KachelY 78636 0.31777371 -0.59035402 18.207092 -33.824794
    Unten links KachelX 72164 KachelY + 1 78637 0.31772577 -0.59039384 18.204346 -33.827075
    Unten rechts KachelX + 1 72165 KachelY + 1 78637 0.31777371 -0.59039384 18.207092 -33.827075
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.59035402--0.59039384) × R
    3.98199999999127e-05 × 6371000     		dl = 253.693219999444m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.59035402--0.59039384) × R
    3.98199999999127e-05 × 6371000     		dr = 253.693219999444m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31772577-0.31777371) × cos(-0.59035402) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.830743664103982 × 6371000     		do = 253.730498359104m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31772577-0.31777371) × cos(-0.59039384) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.830721497436983 × 6371000     		du = 253.723728088432m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.59035402)-sin(-0.59039384))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.830743664103982-0.830721497436983)×R²
    abs(0.31777371-0.31772577)×2.21666669991682e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.21666669991682e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.21666669991682e-05×40589641000000     		ar = 64368.8483633888m²