Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72164 / 104032
↖ ↑ ↗
← S 72.046840°
E 18.204346°		 ← 94.14 m → S 72.046840°
E 18.207092°		 →
↑
94.16 m
↓
↑
94.16 m
↓
S 72.047687°
E 18.204346°		 ← 94.14 m →
8 865 m²		 S 72.047687°
E 18.207092°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72164 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104032 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550571441650391 y=0.793704986572266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550571441650391 × 217)
    floor (0.550571441650391 × 131072)
    floor (72164.5)     		tx = 72164
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.793704986572266 × 217)
    floor (0.793704986572266 × 131072)
    floor (104032.5)     		ty = 104032
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72164 / 104032 ti = "17/72164/104032"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72164/104032.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72164 ÷ 217
    72164 ÷ 131072     		x = 0.550567626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104032 ÷ 217
    104032 ÷ 131072     		y = 0.793701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.550567626953125 × 2 - 1) × π
    0.10113525390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.31772577
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.793701171875 × 2 - 1) × π
    -0.58740234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.84537888777368
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31772577} λ = 0.31772577}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.84537888777368))-π/2
    2×atan(0.157965458368935)-π/2
    2×0.156670877503624-π/2
    0.313341755007248-1.57079632675     		φ = -1.25745457
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31772577} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.204346°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.25745457 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.046840°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72164 KachelY 104032 0.31772577 -1.25745457 18.204346 -72.046840
    Oben rechts KachelX + 1 72165 KachelY 104032 0.31777371 -1.25745457 18.207092 -72.046840
    Unten links KachelX 72164 KachelY + 1 104033 0.31772577 -1.25746935 18.204346 -72.047687
    Unten rechts KachelX + 1 72165 KachelY + 1 104033 0.31777371 -1.25746935 18.207092 -72.047687
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.25745457--1.25746935) × R
    1.4780000000103e-05 × 6371000     		dl = 94.1633800006565m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.25745457--1.25746935) × R
    1.4780000000103e-05 × 6371000     		dr = 94.1633800006565m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31772577-0.31777371) × cos(-1.25745457) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.3082393943534 × 6371000     		do = 94.1442451174774m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31772577-0.31777371) × cos(-1.25746935) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.308225333975337 × 6371000     		du = 94.1399507161027m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.25745457)-sin(-1.25746935))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.3082393943534-0.308225333975337)×R²
    abs(0.31777371-0.31772577)×1.40603780633408e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.40603780633408e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.40603780633408e-05×40589641000000     		ar = 8864.73814051356m²