Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 72161 / 104028
↖ ↑ ↗
← S 72.043453°
E 18.196106°		 ← 94.16 m → S 72.043453°
E 18.198853°		 →
↑
94.16 m
↓
↑
94.16 m
↓
S 72.044300°
E 18.196106°		 ← 94.16 m →
8 866 m²		 S 72.044300°
E 18.198853°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72161 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104028 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550548553466797 y=0.793674468994141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550548553466797 × 217)
    floor (0.550548553466797 × 131072)
    floor (72161.5)     		tx = 72161
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.793674468994141 × 217)
    floor (0.793674468994141 × 131072)
    floor (104028.5)     		ty = 104028
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72161 / 104028 ti = "17/72161/104028"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72161/104028.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72161 ÷ 217
    72161 ÷ 131072     		x = 0.550544738769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104028 ÷ 217
    104028 ÷ 131072     		y = 0.793670654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.550544738769531 × 2 - 1) × π
    0.101089477539062 × 3.1415926535     		Λ = 0.31758196
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.793670654296875 × 2 - 1) × π
    -0.58734130859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.8451871401752
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31758196} λ = 0.31758196}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.8451871401752))-π/2
    2×atan(0.157995750770375)-π/2
    2×0.156700432280735-π/2
    0.31340086456147-1.57079632675     		φ = -1.25739546
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31758196} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.196106°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.25739546 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.043453°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72161 KachelY 104028 0.31758196 -1.25739546 18.196106 -72.043453
    Oben rechts KachelX + 1 72162 KachelY 104028 0.31762990 -1.25739546 18.198853 -72.043453
    Unten links KachelX 72161 KachelY + 1 104029 0.31758196 -1.25741024 18.196106 -72.044300
    Unten rechts KachelX + 1 72162 KachelY + 1 104029 0.31762990 -1.25741024 18.198853 -72.044300
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.25739546--1.25741024) × R
    1.4780000000103e-05 × 6371000     		dl = 94.1633800006565m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.25739546--1.25741024) × R
    1.4780000000103e-05 × 6371000     		dr = 94.1633800006565m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31758196-0.31762990) × cos(-1.25739546) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.308295625679373 × 6371000     		do = 94.1614196119327m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31758196-0.31762990) × cos(-1.25741024) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.30828156557062 × 6371000     		du = 94.1571252928123m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.25739546)-sin(-1.25741024))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.308295625679373-0.30828156557062)×R²
    abs(0.31762990-0.31758196)×1.4060108752878e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.4060108752878e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.4060108752878e-05×40589641000000     		ar = 8866.35535279064m²