Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72160 / 78685
↖ ↑ ↗
← S 33.936524°
E 18.193359°		 ← 253.40 m → S 33.936524°
E 18.196106°		 →
↑
253.37 m
↓
↑
253.37 m
↓
S 33.938803°
E 18.193359°		 ← 253.39 m →
64 204 m²		 S 33.938803°
E 18.196106°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72160 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78685 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550540924072266 y=0.600322723388672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550540924072266 × 217)
    floor (0.550540924072266 × 131072)
    floor (72160.5)     		tx = 72160
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.600322723388672 × 217)
    floor (0.600322723388672 × 131072)
    floor (78685.5)     		ty = 78685
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72160 / 78685 ti = "17/72160/78685"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72160/78685.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72160 ÷ 217
    72160 ÷ 131072     		x = 0.550537109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78685 ÷ 217
    78685 ÷ 131072     		y = 0.600318908691406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.550537109375 × 2 - 1) × π
    0.10107421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.31753402
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.600318908691406 × 2 - 1) × π
    -0.200637817382812 × 3.1415926535     		Φ = -0.630322293104118
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31753402} λ = 0.31753402}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.630322293104118))-π/2
    2×atan(0.532420178000064)-π/2
    2×0.489246122627187-π/2
    0.978492245254374-1.57079632675     		φ = -0.59230408
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31753402} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.193359°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.59230408 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.936524°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72160 KachelY 78685 0.31753402 -0.59230408 18.193359 -33.936524
    Oben rechts KachelX + 1 72161 KachelY 78685 0.31758196 -0.59230408 18.196106 -33.936524
    Unten links KachelX 72160 KachelY + 1 78686 0.31753402 -0.59234385 18.193359 -33.938803
    Unten rechts KachelX + 1 72161 KachelY + 1 78686 0.31758196 -0.59234385 18.196106 -33.938803
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.59230408--0.59234385) × R
    3.97699999999945e-05 × 6371000     		dl = 253.374669999965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.59230408--0.59234385) × R
    3.97699999999945e-05 × 6371000     		dr = 253.374669999965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31753402-0.31758196) × cos(-0.59230408) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.829656574287129 × 6371000     		do = 253.398473147638m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31753402-0.31758196) × cos(-0.59234385) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.829634371070134 × 6371000     		du = 253.391691713657m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.59230408)-sin(-0.59234385))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.829656574287129-0.829634371070134)×R²
    abs(0.31758196-0.31753402)×2.22032169947539e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.22032169947539e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.22032169947539e-05×40589641000000     		ar = 64203.8953988553m²