Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72151 / 94713
↖ ↑ ↗
← S 62.258975°
E 18.168640°		 ← 142.17 m → S 62.258975°
E 18.171387°		 →
↑
142.14 m
↓
↑
142.14 m
↓
S 62.260253°
E 18.168640°		 ← 142.16 m →
20 207 m²		 S 62.260253°
E 18.171387°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72151 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94713 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550472259521484 y=0.722606658935547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550472259521484 × 217)
    floor (0.550472259521484 × 131072)
    floor (72151.5)     		tx = 72151
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.722606658935547 × 217)
    floor (0.722606658935547 × 131072)
    floor (94713.5)     		ty = 94713
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72151 / 94713 ti = "17/72151/94713"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72151/94713.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72151 ÷ 217
    72151 ÷ 131072     		x = 0.550468444824219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94713 ÷ 217
    94713 ÷ 131072     		y = 0.722602844238281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.550468444824219 × 2 - 1) × π
    0.100936889648438 × 3.1415926535     		Λ = 0.31710259
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.722602844238281 × 2 - 1) × π
    -0.445205688476562 × 3.1415926535     		Φ = -1.39865492021438
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31710259} λ = 0.31710259}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39865492021438))-π/2
    2×atan(0.246928879709552)-π/2
    2×0.242086114829265-π/2
    0.48417222965853-1.57079632675     		φ = -1.08662410
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31710259} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.168640°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08662410 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.258975°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72151 KachelY 94713 0.31710259 -1.08662410 18.168640 -62.258975
    Oben rechts KachelX + 1 72152 KachelY 94713 0.31715053 -1.08662410 18.171387 -62.258975
    Unten links KachelX 72151 KachelY + 1 94714 0.31710259 -1.08664641 18.168640 -62.260253
    Unten rechts KachelX + 1 72152 KachelY + 1 94714 0.31715053 -1.08664641 18.171387 -62.260253
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08662410--1.08664641) × R
    2.23099999998588e-05 × 6371000     		dl = 142.137009999101m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08662410--1.08664641) × R
    2.23099999998588e-05 × 6371000     		dr = 142.137009999101m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31710259-0.31715053) × cos(-1.08662410) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.465475889589254 × 6371000     		do = 142.168318029863m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31710259-0.31715053) × cos(-1.08664641) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.465456143772303 × 6371000     		du = 142.162287149109m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08662410)-sin(-1.08664641))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.465475889589254-0.465456143772303)×R²
    abs(0.31715053-0.31710259)×1.97458169508558e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.97458169508558e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.97458169508558e-05×40589641000000     		ar = 20206.9510366038m²