Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72150 / 94770
↖ ↑ ↗
← S 62.331759°
E 18.165893°		 ← 141.82 m → S 62.331759°
E 18.168640°		 →
↑
141.82 m
↓
↑
141.82 m
↓
S 62.333035°
E 18.165893°		 ← 141.82 m →
20 113 m²		 S 62.333035°
E 18.168640°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72150 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94770 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550464630126953 y=0.723041534423828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550464630126953 × 217)
    floor (0.550464630126953 × 131072)
    floor (72150.5)     		tx = 72150
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.723041534423828 × 217)
    floor (0.723041534423828 × 131072)
    floor (94770.5)     		ty = 94770
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72150 / 94770 ti = "17/72150/94770"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72150/94770.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72150 ÷ 217
    72150 ÷ 131072     		x = 0.550460815429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94770 ÷ 217
    94770 ÷ 131072     		y = 0.723037719726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.550460815429688 × 2 - 1) × π
    0.100921630859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.31705465
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.723037719726562 × 2 - 1) × π
    -0.446075439453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.40138732349272
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31705465} λ = 0.31705465}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40138732349272))-π/2
    2×atan(0.246255091379048)-π/2
    2×0.241450949406878-π/2
    0.482901898813756-1.57079632675     		φ = -1.08789443
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31705465} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.165893°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08789443 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.331759°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72150 KachelY 94770 0.31705465 -1.08789443 18.165893 -62.331759
    Oben rechts KachelX + 1 72151 KachelY 94770 0.31710259 -1.08789443 18.168640 -62.331759
    Unten links KachelX 72150 KachelY + 1 94771 0.31705465 -1.08791669 18.165893 -62.333035
    Unten rechts KachelX + 1 72151 KachelY + 1 94771 0.31710259 -1.08791669 18.168640 -62.333035
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08789443--1.08791669) × R
    2.22599999999407e-05 × 6371000     		dl = 141.818459999622m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08789443--1.08791669) × R
    2.22599999999407e-05 × 6371000     		dr = 141.818459999622m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31705465-0.31710259) × cos(-1.08789443) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.464351195331411 × 6371000     		do = 141.824807454052m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31705465-0.31710259) × cos(-1.08791669) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.46433148062167 × 6371000     		du = 141.81878607424m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08789443)-sin(-1.08791669))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.464351195331411-0.46433148062167)×R²
    abs(0.31710259-0.31705465)×1.97147097413253e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.97147097413253e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.97147097413253e-05×40589641000000     		ar = 20112.9488123957m²