Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72147 / 94772
↖ ↑ ↗
← S 62.334310°
E 18.157654°		 ← 141.81 m → S 62.334310°
E 18.160400°		 →
↑
141.75 m
↓
↑
141.75 m
↓
S 62.335585°
E 18.157654°		 ← 141.81 m →
20 102 m²		 S 62.335585°
E 18.160400°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72147 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94772 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550441741943359 y=0.723056793212891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550441741943359 × 217)
    floor (0.550441741943359 × 131072)
    floor (72147.5)     		tx = 72147
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.723056793212891 × 217)
    floor (0.723056793212891 × 131072)
    floor (94772.5)     		ty = 94772
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72147 / 94772 ti = "17/72147/94772"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72147/94772.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72147 ÷ 217
    72147 ÷ 131072     		x = 0.550437927246094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94772 ÷ 217
    94772 ÷ 131072     		y = 0.723052978515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.550437927246094 × 2 - 1) × π
    0.100875854492188 × 3.1415926535     		Λ = 0.31691084
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.723052978515625 × 2 - 1) × π
    -0.44610595703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.40148319729196
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31691084} λ = 0.31691084}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40148319729196))-π/2
    2×atan(0.246231483099581)-π/2
    2×0.241428690795172-π/2
    0.482857381590343-1.57079632675     		φ = -1.08793895
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31691084} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.157654°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08793895 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.334310°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72147 KachelY 94772 0.31691084 -1.08793895 18.157654 -62.334310
    Oben rechts KachelX + 1 72148 KachelY 94772 0.31695878 -1.08793895 18.160400 -62.334310
    Unten links KachelX 72147 KachelY + 1 94773 0.31691084 -1.08796120 18.157654 -62.335585
    Unten rechts KachelX + 1 72148 KachelY + 1 94773 0.31695878 -1.08796120 18.160400 -62.335585
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08793895--1.08796120) × R
    2.22500000000014e-05 × 6371000     		dl = 141.754750000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08793895--1.08796120) × R
    2.22500000000014e-05 × 6371000     		dr = 141.754750000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31691084-0.31695878) × cos(-1.08793895) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.464311765681848 × 6371000     		do = 141.812764623992m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31691084-0.31695878) × cos(-1.08796120) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.464292059368779 × 6371000     		du = 141.80674580874m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08793895)-sin(-1.08796120))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.464311765681848-0.464292059368779)×R²
    abs(0.31695878-0.31691084)×1.97063130695785e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.97063130695785e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.97063130695785e-05×40589641000000     		ar = 20102.2063990089m²