Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72146 / 94721
↖ ↑ ↗
← S 62.269200°
E 18.154907°		 ← 142.09 m → S 62.269200°
E 18.157654°		 →
↑
142.14 m
↓
↑
142.14 m
↓
S 62.270479°
E 18.154907°		 ← 142.08 m →
20 196 m²		 S 62.270479°
E 18.157654°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72146 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94721 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550434112548828 y=0.722667694091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550434112548828 × 217)
    floor (0.550434112548828 × 131072)
    floor (72146.5)     		tx = 72146
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.722667694091797 × 217)
    floor (0.722667694091797 × 131072)
    floor (94721.5)     		ty = 94721
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72146 / 94721 ti = "17/72146/94721"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72146/94721.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72146 ÷ 217
    72146 ÷ 131072     		x = 0.550430297851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94721 ÷ 217
    94721 ÷ 131072     		y = 0.722663879394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.550430297851562 × 2 - 1) × π
    0.100860595703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.31686291
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.722663879394531 × 2 - 1) × π
    -0.445327758789062 × 3.1415926535     		Φ = -1.39903841541134
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31686291} λ = 0.31686291}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39903841541134))-π/2
    2×atan(0.24683420182561)-π/2
    2×0.24199687609068-π/2
    0.483993752181359-1.57079632675     		φ = -1.08680257
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31686291} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.154907°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08680257 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.269200°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72146 KachelY 94721 0.31686291 -1.08680257 18.154907 -62.269200
    Oben rechts KachelX + 1 72147 KachelY 94721 0.31691084 -1.08680257 18.157654 -62.269200
    Unten links KachelX 72146 KachelY + 1 94722 0.31686291 -1.08682488 18.154907 -62.270479
    Unten rechts KachelX + 1 72147 KachelY + 1 94722 0.31691084 -1.08682488 18.157654 -62.270479
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08680257--1.08682488) × R
    2.23100000000809e-05 × 6371000     		dl = 142.137010000515m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08680257--1.08682488) × R
    2.23100000000809e-05 × 6371000     		dr = 142.137010000515m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31686291-0.31691084) × cos(-1.08680257) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.465317925418752 × 6371000     		do = 142.090426301346m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31686291-0.31691084) × cos(-1.08682488) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.465298177748785 × 6371000     		du = 142.084396112757m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08680257)-sin(-1.08682488))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.465317925418752-0.465298177748785)×R²
    abs(0.31691084-0.31686291)×1.97476699666521e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.97476699666521e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.97476699666521e-05×40589641000000     		ar = 20195.8797884971m²