Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72142 / 78678
↖ ↑ ↗
← S 33.920572°
E 18.143921°		 ← 253.45 m → S 33.920572°
E 18.146668°		 →
↑
253.44 m
↓
↑
253.44 m
↓
S 33.922851°
E 18.143921°		 ← 253.44 m →
64 232 m²		 S 33.922851°
E 18.146668°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72142 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78678 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550403594970703 y=0.600269317626953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550403594970703 × 217)
    floor (0.550403594970703 × 131072)
    floor (72142.5)     		tx = 72142
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.600269317626953 × 217)
    floor (0.600269317626953 × 131072)
    floor (78678.5)     		ty = 78678
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72142 / 78678 ti = "17/72142/78678"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72142/78678.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72142 ÷ 217
    72142 ÷ 131072     		x = 0.550399780273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78678 ÷ 217
    78678 ÷ 131072     		y = 0.600265502929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.550399780273438 × 2 - 1) × π
    0.100799560546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.31667116
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.600265502929688 × 2 - 1) × π
    -0.200531005859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.629986734806778
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31667116} λ = 0.31667116}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.629986734806778))-π/2
    2×atan(0.532598865986905)-π/2
    2×0.489385334738106-π/2
    0.978770669476212-1.57079632675     		φ = -0.59202566
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31667116} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.143921°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.59202566 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.920572°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72142 KachelY 78678 0.31667116 -0.59202566 18.143921 -33.920572
    Oben rechts KachelX + 1 72143 KachelY 78678 0.31671910 -0.59202566 18.146668 -33.920572
    Unten links KachelX 72142 KachelY + 1 78679 0.31667116 -0.59206544 18.143921 -33.922851
    Unten rechts KachelX + 1 72143 KachelY + 1 78679 0.31671910 -0.59206544 18.146668 -33.922851
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.59202566--0.59206544) × R
    3.97800000000448e-05 × 6371000     		dl = 253.438380000285m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.59202566--0.59206544) × R
    3.97800000000448e-05 × 6371000     		dr = 253.438380000285m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31667116-0.31671910) × cos(-0.59202566) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.829811976803013 × 6371000     		do = 253.445937075757m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31667116-0.31671910) × cos(-0.59206544) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.829789777192586 × 6371000     		du = 253.439156743315m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.59202566)-sin(-0.59206544))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.829811976803013-0.829789777192586)×R²
    abs(0.31671910-0.31667116)×2.21996104270428e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.21996104270428e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.21996104270428e-05×40589641000000     		ar = 64232.0685204407m²