Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72140 / 95653
↖ ↑ ↗
← S 63.437002°
E 18.138428°		 ← 136.55 m → S 63.437002°
E 18.141174°		 →
↑
136.59 m
↓
↑
136.59 m
↓
S 63.438230°
E 18.138428°		 ← 136.55 m →
18 652 m²		 S 63.438230°
E 18.141174°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72140 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95653 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550388336181641 y=0.729778289794922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550388336181641 × 217)
    floor (0.550388336181641 × 131072)
    floor (72140.5)     		tx = 72140
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729778289794922 × 217)
    floor (0.729778289794922 × 131072)
    floor (95653.5)     		ty = 95653
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72140 / 95653 ti = "17/72140/95653"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72140/95653.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72140 ÷ 217
    72140 ÷ 131072     		x = 0.550384521484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95653 ÷ 217
    95653 ÷ 131072     		y = 0.729774475097656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.550384521484375 × 2 - 1) × π
    0.10076904296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.31657529
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.729774475097656 × 2 - 1) × π
    -0.459548950195312 × 3.1415926535     		Φ = -1.44371560585723
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31657529} λ = 0.31657529}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44371560585723))-π/2
    2×atan(0.236049061970466)-π/2
    2×0.231805887378081-π/2
    0.463611774756162-1.57079632675     		φ = -1.10718455
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31657529} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.138428°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10718455 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.437002°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72140 KachelY 95653 0.31657529 -1.10718455 18.138428 -63.437002
    Oben rechts KachelX + 1 72141 KachelY 95653 0.31662322 -1.10718455 18.141174 -63.437002
    Unten links KachelX 72140 KachelY + 1 95654 0.31657529 -1.10720599 18.138428 -63.438230
    Unten rechts KachelX + 1 72141 KachelY + 1 95654 0.31662322 -1.10720599 18.141174 -63.438230
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10718455--1.10720599) × R
    2.14400000000392e-05 × 6371000     		dl = 136.59424000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10718455--1.10720599) × R
    2.14400000000392e-05 × 6371000     		dr = 136.59424000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31657529-0.31662322) × cos(-1.10718455) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.447181545913587 × 6371000     		do = 136.552264638636m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31657529-0.31662322) × cos(-1.10720599) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.447162368948278 × 6371000     		du = 136.546408721581m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10718455)-sin(-1.10720599))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.447181545913587-0.447162368948278)×R²
    abs(0.31662322-0.31657529)×1.91769653085649e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.91769653085649e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.91769653085649e-05×40589641000000     		ar = 18651.8528670739m²