Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7214 / 9270
↖ ↑ ↗
← N 61.322997°
W100.744629°		 ← 586.23 m → N 61.322997°
W100.733643°		 →
↑
586.26 m
↓
↑
586.26 m
↓
N 61.317725°
W100.744629°		 ← 586.33 m →
343 712 m²		 N 61.317725°
W100.733643°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7214 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9270 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.220169067382812 y=0.282913208007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.220169067382812 × 215)
    floor (0.220169067382812 × 32768)
    floor (7214.5)     		tx = 7214
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.282913208007812 × 215)
    floor (0.282913208007812 × 32768)
    floor (9270.5)     		ty = 9270
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7214 / 9270 ti = "15/7214/9270"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7214/9270.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7214 ÷ 215
    7214 ÷ 32768     		x = 0.22015380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9270 ÷ 215
    9270 ÷ 32768     		y = 0.28289794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.22015380859375 × 2 - 1) × π
    -0.5596923828125 × 3.1415926535     		Λ = -1.75832548
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.28289794921875 × 2 - 1) × π
    0.4342041015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.36409241558832
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75832548} λ = -1.75832548}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.36409241558832))-π/2
    2×atan(3.91217081501156)-π/2
    2×1.32054226928042-π/2
    2.64108453856085-1.57079632675     		φ = 1.07028821
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75832548} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.744629°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.07028821 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.322997°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7214 KachelY 9270 -1.75832548 1.07028821 -100.744629 61.322997
    Oben rechts KachelX + 1 7215 KachelY 9270 -1.75813373 1.07028821 -100.733643 61.322997
    Unten links KachelX 7214 KachelY + 1 9271 -1.75832548 1.07019619 -100.744629 61.317725
    Unten rechts KachelX + 1 7215 KachelY + 1 9271 -1.75813373 1.07019619 -100.733643 61.317725
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.07028821-1.07019619) × R
    9.20199999998594e-05 × 6371000     		dl = 586.259419999104m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.07028821-1.07019619) × R
    9.20199999998594e-05 × 6371000     		dr = 586.259419999104m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75832548--1.75813373) × cos(1.07028821) × R
    0.000191750000000157 × 0.479871391133937 × 6371000     		do = 586.229726361799m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75832548--1.75813373) × cos(1.07019619) × R
    0.000191750000000157 × 0.47995212182259 × 6371000     		du = 586.328350139737m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.07028821)-sin(1.07019619))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.479871391133937-0.47995212182259)×R²
    abs(-1.75813373--1.75832548)×8.07306886528858e-05×R²
    0.000191750000000157×8.07306886528858e-05×6371000²
    0.000191750000000157×8.07306886528858e-05×40589641000000     		ar = 343711.609165681m²