Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7214 / 5286
↖ ↑ ↗
← N 76.419133°
W100.744629°		 ← 286.86 m → N 76.419133°
W100.733643°		 →
↑
286.89 m
↓
↑
286.89 m
↓
N 76.416553°
W100.744629°		 ← 286.92 m →
82 304 m²		 N 76.416553°
W100.733643°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7214 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5286 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.220169067382812 y=0.161331176757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.220169067382812 × 215)
    floor (0.220169067382812 × 32768)
    floor (7214.5)     		tx = 7214
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.161331176757812 × 215)
    floor (0.161331176757812 × 32768)
    floor (5286.5)     		ty = 5286
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7214 / 5286 ti = "15/7214/5286"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7214/5286.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7214 ÷ 215
    7214 ÷ 32768     		x = 0.22015380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5286 ÷ 215
    5286 ÷ 32768     		y = 0.16131591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.22015380859375 × 2 - 1) × π
    -0.5596923828125 × 3.1415926535     		Λ = -1.75832548
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16131591796875 × 2 - 1) × π
    0.6773681640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.12801484793353
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75832548} λ = -1.75832548}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.12801484793353))-π/2
    2×atan(8.39817859100844)-π/2
    2×1.4522809093011-π/2
    2.90456181860221-1.57079632675     		φ = 1.33376549
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75832548} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.744629°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33376549 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.419133°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7214 KachelY 5286 -1.75832548 1.33376549 -100.744629 76.419133
    Oben rechts KachelX + 1 7215 KachelY 5286 -1.75813373 1.33376549 -100.733643 76.419133
    Unten links KachelX 7214 KachelY + 1 5287 -1.75832548 1.33372046 -100.744629 76.416553
    Unten rechts KachelX + 1 7215 KachelY + 1 5287 -1.75813373 1.33372046 -100.733643 76.416553
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33376549-1.33372046) × R
    4.50299999998904e-05 × 6371000     		dl = 286.886129999302m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33376549-1.33372046) × R
    4.50299999998904e-05 × 6371000     		dr = 286.886129999302m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75832548--1.75813373) × cos(1.33376549) × R
    0.000191750000000157 × 0.234817521905991 × 6371000     		do = 286.862301348329m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75832548--1.75813373) × cos(1.33372046) × R
    0.000191750000000157 × 0.234861292605245 × 6371000     		du = 286.915773352537m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33376549)-sin(1.33372046))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.234817521905991-0.234861292605245)×R²
    abs(-1.75813373--1.75832548)×4.37706992532372e-05×R²
    0.000191750000000157×4.37706992532372e-05×6371000²
    0.000191750000000157×4.37706992532372e-05×40589641000000     		ar = 82304.4856780527m²